§ 2. Многочлены над полными полями

В этом параграфе мы будем считать, что К — поле, полное относительно некоторого неархимедова нормирования; символом о обозначим его подкольцо целых чисел, т. е. множество элементов с неархимедовой нормой 1. Нет нужды предполагать нормирование дискретным.

Пусть максимальный идеал кольца . Заметим, что ряд

где сходится в том и только том случае, когда

Таким образом, в этом случае легче обращаться со сходимостью, чем в архимедовом.

Займемся теперь вопросом существования корней у некоторых многочленов в полных полях.

Предложение 1. Пусть положительное целое число с условием

Тогда для любого элемента биномиальный ряд сходится к некоторому корню степени из элемента группы

Доказательство. Очевидно, потому что знаменатели биномиальных коэффициентов не делятся на простое число входящее в идеал

Часто полезен более тонкий критерий существования корня.

Предположение 2. Пусть -многочлен с коэффициентами в кольце о. Пусть — такой элемент из , для которого

(здесь означает формальную производную многочлена ). Тогда последовательность

сходится к некоторому корню а многочлена в кольце . Кроме того,

Доказательство. Положим Индукцией покажем, что

Очевидно, что из этих трех утверждений вытекает требуемый результат. При они сводятся к условиям предложения. Пусть они верны для некоторого Тогда

(I) неравенство показывает, что так что

(III) в силу разложения Тейлора имеем

для некоторого и норма правой части оценивается числом

С другой стороны, разложение Тейлора для показывает, что

Отсюда находим

что и требовалось доказать.

(Читатель, интересующийся более общей формулировкой этого результата, может обратиться к книге Бурбаки [4].)

В качестве приложения заметим, что в -адическом поле уравнение имеет корень. На самом деле для любого элемента из поля уравнение имеет корень: достаточно положить в предложении 2.

Предложение 2 применимо также в тривиальном случае, когда

но Решение соответствующей цепочки линейных уравнений, необходимое для построения последовательных приближений к корню многочлена более тривиально. Можно иначе описать эту ситуацию, сказав, что — простой корень многочлена приведенного мы будем называть это условие тривиальным случаем леммы Гензеля.

Предложение 2 показывает также, что всякая единица кольца о, достаточно близкая к 1, является степенью, если число не делится на характеристику поля К. В самом деле, достаточно рассмотреть уравнение

и положить если

Докажем теперь одну полезную лемму о приближениях в конечном расширении.

Пр едложение 3. Пусть — два элемента из алгебраического замыкания поля К, причем а сепарабелен над Предположим, что для всех нетождественных изоморфизмов о поля над К имеет место неравенство

Тогда

Доказательство. Достаточно проверить, что элемент а переходит в себя при всех изоморфизмах поля над Пусть — такой изоморфизм. В силу единственности продолжения нормирований в полных полях, применяя , получаем для всех нетождественных а

Пользуясь условием предложения, находим

Отсюда вытекает, что тождественное отображение на так что как и утверждалось.

Предложение 3 называется леммой Краснера. Оно полезно при описании расширений поля К.

Теперь отметим непрерывность корней многочлена как функций от коэффициентов.

Пусть многочлен в кольце со старшим коэффициентом 1,

— его разложение в алгебраическом замыкании поля К-Пусть степень равна и все корни различны. Как обычно, символом обозначим максимум норм коэффициентов многочлена Очевидно, что когда ограничено, нормы корней многочлена тоже ограничены.

Предположим, что многочлен близок к в том смысле, что число мало. Тогда для любого корня (5 многочлена число

мало, так что должен быть близок к одному из корней многочлена Когда приближается, скажем, к корню его расстояние до любого другого корня многочлена приближается к расстоянию до этого корня и потому ограничено снизу. Можно описать эту ситуацию, сказав, что принадлежит а.

Пусть многочлен достаточно близок к корни принадлежащие а (с учетом кратностей); мы утверждаем, что тогда ( - кратность корня а многочлена ).

Действительно, иначе можно найти последовательность многочленов приближающихся к у которых точно корней принадлежат а и Тогда каждый из корней стремится к а. Но так что а должен быть корнем кратности многочлена Противоречие.

В качестве приложения получаем

Предложение 4. Если многочлен неприводим и сепарабелен, то любой многочлен достаточно близкий к также неприводим. (Мы предполагаем, что имеют старшие коэффициенты 1 и что степени их

совпадают.) Далее, для любого корня а многочлена существует корень многочлена принадлежащий а, и

Доказательство. Если достаточно близок к то все его корни простые и принадлежат разным корням Если корень многочлена достаточно близок к корню а многочлена то лемма Краснера немедленно показывает, что Следовательно, многочлен неприводим, потому что его степень совпадает со степенью

Следствие. Пусть К — конечное расширение поля Тогда существует такое конечное расширение поля содержащееся в К, что и плотно в К, так что .

Доказательство. Пусть , и пусть f - неприводимый многочлен над , корнем которого является а. В качестве g выберем многочлен, достаточно близкий к , но с коэффициентами в поле Q, и положим .

Это следствие оправдывает употребление названия -адическое поле по отношению к любому конечному расширению поля . Целое замыкание кольца -адических чисел поля ( имеет единственный максимальный идеал, который обозначается буквой р.