§ 4. Константа Минковского

Пусть расширение поля степени а — идеал кольца целых чисел рассматриваемый как решетка в пространстве Выберем число а, фигурирующее в лемме 3, так, чтобы объем описанной там области был не меньше -кратного объема фундаментальной области решетки Обозначим через абсолютную величину дискриминанта тогда достаточно положить

(см. лемму 2, § 2). По теореме 3, в такой области содержится ненулевая точка решетки, т. е. существует элемент а с условием

Поскольку среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, имеем

откуда

Далее,

где — некоторый идеал. Поэтому

Сокращая на получаем следующий результат.

Теорема 4. В любом классе идеалов существует идеал норма которого ограничена неравенством

где — константа Минковского:

Следствие. Модуль дискриминанта всегда больше единицы. Всегда существует простое число, разветвленное в поле

Доказательство. Так как имеем

При получаем Наше утверждение будет доказано, если мы проверим, что последовательность чисел

монотонно убывает. Достаточно рассмотреть частное двух последовательных чисел; тривиальный подсчет доказывает требуемое.

Следующую таблицу значений константы Минковского я записал на лекциях Артина 12 лет назад.

Для больших теорема Минковского дает неравенство

Закончим это обсуждение примером, который Артин очень любил. Рассмотрим многочлен Дискриминант А корня многочлена равен . В нашем случае

каждый простой делитель входит в первой степени.

Пусть а — корень многочлена Элемент а цел над Так как многочлен неприводим по модулю 5, он неприводим и над (и над Q), и k - поле пятой степени над Дискриминант -модуля не содержит квадратных множителей, поэтому он совпадает с ибо он может отличаться от только на квадрат целого числа. Следовательно, в силу предположения 10 гл. III, § 3.

Нетрудно показать, что группой Галуа этого многочлена является вся симметрическая группа, так что поле разложения К имеет над степень 120.

В силу теоремы Минковского в каждом классе идеалов содержится идеал с нормой (тривиальная оценка с помощью табличного значения константы Минковского). Так как эта норма — целое число, она должна быть равна 1, 2 или 3. Случай или возможен лишь для простого идеала тогда степень поля классов вычетов над должна быть равна единице, так что многочлен должен иметь корень по модулю 2 или 3. Прямое вычисление показывает, что это не так. Остается единственная возможность: но тогда и чудо — всякий идеал оказывается главным. Кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов.

Как заметил Артин, можно показать, что поле разложения неразветвлено над расширением Это дает пример неразветвленного расширения с икосаэдральной группой. Артин указал однажды, что для любого нормального расширения К числового поля с группой Галуа существует бесконечно много конечных расширений поля таких, что а композит неразветвлен над Чтобы получить такое поле достаточно построить расширение, которое локально поглощает все

ветвления поля К (это накладывает на конечное число условий, которым можно удовлетворить в силу теоремы о приближении). Затем нужно обеспечить, чтобы с этой целью можно, например, воспользоваться теоремой о существовании и плотности простых идеалов с заданным символом Артина, которая будет доказана позже. Мы оставляем это читателю в качестве упражнения.

В качестве последнего приложения теоремы Минковского докажем следующий результат.

Теорема 5. Пусть числовое поле, модуль его дискриминанта, Тогда отношение ограничено на множестве всех числовых полей Кроме того, существует только конечное число полей с заданным значением дискриминанта.

Доказательство. Первое утверждение получается из тривиальной оценки константы Минковского; мы оставляем проверку читателю. Тем самым, если дискриминант ограничен, степень поля тоже ограничена. Следовательно, для доказательства второго утверждения нужно установить конечность числа полей заданной степени с данным значением модуля дискриминанта

Рассмотрим -мерное евклидово пространство

Предположим, что существует хоть одно комплексное нормирование Рассмотрим область, определенную неравенствами:

где — большая константа, зависящая от Здесь символом обозначен элемент поля которое отождествляется с С или

Эта область выпукла и симметрична относительно начала координат. Следовательно, она должна содержать ненулевой элемент а Так как абсолютная величина

нормы а (будучи ненулевым целым числом) не меньше единицы, из первого неравенства следует, что модуль мнимой части числа а больше нуля. Следовательно, два сопряженных к а числа, соответствующие нормированию различны. Кроме того, число а не совпадает ни с одним из остальных сопряженных, ибо его -норма отличается от -норм при всех Следовательно, а порождает поле над Коэффициенты его уравнения над являются элементарными симметрическими функциями от а и всех сопряженных к а; поэтому они ограничены величиной, зависящей лишь от а и Таких уравнений имеется конечное число, что и доказывает наш результат в этом случае.

Если все нормирования вещественны, доказательство еще проще, ибо тогда можно заменить первую пару неравенств условием

сохранив остальные рассуждения.