§ 3. Локальное функциональное уравнение

В этом параграфе некоторая комплекснозначная функция на ее ограничение на Мы рассматриваем функции, которые удовлетворяют следующим условиям:

На множестве пар состоящих из функции и квазихарактера с, определим -функцию, полагая

Если квазихарактер с задан в виде где X — некоторый характер группы мы будем пользоваться также записью

При фиксированных дзета-функцию можно рассматривать как функцию одной комплексной переменной, которая в силу условий, наложенных на голоморфна при В этой области, как легко видеть, можно вносить дифференцирование под знак интеграла. Назовем квазихарактеры эквивалентными, если для некоторого комплексного числа На каждом классе эквивалентности квазихарактеров дзета-функция является комплекснозначной функцией; ясно, что следует понимать под ее аналитическим продолжением.

Для любого квазихарактера с положим Функциональное уравнение будет следствием основной леммы.

Лемма. Для любого квазихарактера с в области и любых двух функций удовлетворяющих условиям имеем

Доказательство. Произведение можно представить в виде абсолютно сходящегося двойного интеграла по

Так как мера инварианта относительно автоморфизма то этот интеграл равен

Подставляя сюда определение функции и мультипликативных мер находим (с точностью до легко вычислимого постоянного множителя)

Это выражение симметрично относительно что и доказывает лемму.

Если мы сможем доказать существование хотя бы одной функции для которой отсюда будет следовать, что отношение определено однозначно и не зависит от Мы обозначим это отношение символом а в следующем параграфе для каждого класса эквивалентности квазихарактеров над локальным полем построим функцию для которой определено. Отсюда будет следовать

Теорема 3. Дзета-функция допускает аналитическое продолжение на область всех квазихарактеров, определяемое функциональным уравнением вида

Множитель не зависящий от является мероморфной функцией, которая определяется функциональным уравнением в области и аналитически продолжается на все квазихарактеры.

Из функционального уравнения получаются следующие свойства функции (их проверка тривиальна, и мы оставляем ее читателю):

3) при имеем

В следующем параграфе мы укажем для каждого класса квазихарактеров весовую функцию которая придает локальной дзета-функции обычный вид и, в частности, позволяет вычислить множитель