§ 3. Сравнение вычетов в нормальных расширениях

Нашей целью теперь является доказательство теоремы 2. Опять воспользуемся леммой Брауэра о представлениях групп и разложением дзета-функции:

Всякий -ряд в этом разложении имеет вид где нетривиальный характер группы классов иделей поля Имеем

Множители справа конечны из-за нетривиальности характеров

Нам нужно оценить сверху величины Отметим, что характеры конечного порядка.

Лемма 4. Пусть числовое поле, характер конечного порядка группы Тогда

Доказательство. В обозначениях гл. VII, § 8, имеем

Прямой подсчет показывает, что Это дает верхнюю оценку

Наш характер неразветвлен относительно комплексных нормирований Пусть число разветвленных вещег ственных нормирований, Положим

Несложная оценка локальных интегралов и представление дзета-функции в виде произведения локальных множителей дают неравенство

при Полагая и пользуясь той же тривиальной оценкой дзета-функции, что и в § 1, получаем неравенство леммы.

Положим

Применим лемму 4 к полям и характерам Это дает

Далее,

Это тождество получается, если умножить на значение характера регулярного представления

в единице. Отсюда и из формулы Артина для дискриминанта (см. [3]) сразу же получаем

(Провести вычисление для дифференты, пользуясь ее мультипликативностью в башнях расширений.) Из этих разложений степени и дискриминанта немедленно следует требуемая оценка отношения вычетов.

Для удобства читателя приведем доказательство формулы разложения дискриминанта. Согласно формуле Артина, имеем

Умножим обе части этого равенства на

и воспользуемся тождеством для степеней. Это дает

Взяв норму от обеих частей этого равенства, получим требуемое.