§ 4. Вычисление суммы: первая часть

В нашей явной формуле интеграл (с множителем ) появляется очевидным [образом как сумма

Для того чтобы получить остальные слагаемые, воспользуемся тождеством

и вычислим соответствующие интегралы отдельно для каждого из трех слагаемых.

Начнем с Имеем

Поскольку мы интегрируем голоморфную функцию, контур интегрирования можно сдвинуть на прямую и объединить оба интеграла в один

Сделаем подстановку и перейдем к пределу при Формула обращения Фурье применима в данном случае, поэтому пределом будет величина что и требовалось.

Теперь проинтегрируем Начнем с интеграла по прямой Тривиальный подсчет приводит к выражению

где

Пользуясь существованием такой константы С, что

находим

Эта оценка показывает, что ряд сходится абсолютно и равномерно и определяет некоторую функцию принадлежащую пространству

Подобное же вычисление для интеграла по прямой и оценка для функции

приводят к аналогичному ряду. Положим Меняя местами суммирование и интегрирование, находим, что сумма интегралов от равна

Функция непрерывна вместе со своей производной всюду, кроме точек где у нее и у ее производной имеются разрывы первого рода (напомним, что количество таких чисел конечно). Так как, кроме того, в точках разрыва значение функции разно полусумме ее предельных значений, то можно применить формулу обращения Фурье, так что при наш интеграл стремится к пределу Так появляется сумма по в правой части явной формулы.