§ 5. Слабо разветвленные расширения

Мы по-прежнему предполагаем, что К — полное дискретно нормированное поле частных дедекиндова кольца А с максимальным идеалом для которого поле классов вычетов совершенно.

Пусть конечное расширение поля целое замыкание кольца в поле максимальный идеал кольца В.

Идеал называется вполне разветвленным над если . В этом случае степень поля классов вычетов равна 1 (потому что Так как единственный простой идеал кольца В, лежащий над мы будем говорить, что поле вполне разветвлено над

Предложение 10. Пусть конечное расширение поля композит всех неразветвленных подрасширений поля Тогда поле неразветвлено над К, а поле вполне разветвлено над

Доказательство. Первое утверждение следует из предложения 8 предыдущего параграфа. Для доказательства второго утверждения рассмотрим башни

Если бы степень расширения поля классов вычетов в верхнем этаже башни была больше 1, это расширение можно было бы поднять до некоторого неразветвленного над подполя поля что противоречит максимальности Следовательно, эта степень равна 1, так что вполне разветвлено над

Пусть конечное расширение поля К. Идеал называется слабо разветвленным над (а поле Е - слабо разветвленным над К), если характеристика поля классов вычетов не делит Мы сейчас опишем слабо вполне разветвленные расширения.

Предложение 11. Пусть поле вполне разветвлено над элемент порядка 1 относительно Он удовлетворяет уравнению Эйзенштейна

где для всех Обратно, всякое такое уравнение неприводимо, а его корень порождает вполне разветвленное расширение степени

Доказательство. Все сопряженные к элементы над полем К имеют одну и ту же -адическую норму (из-за однозначности продолжения нормирования на конечные расширения). Поэтому коэффициенты соответствующего неприводимого уравнения, которые являются формами от корней, принадлежат идеалу Последний коэффициент является произведением элемента и всех его сопряженных, которых ровно Поэтому

так [что - элемент порядка 1 относительно Обратно, всякое уравнение Эйзенштейна неприводимо. Приведенное выше рассуждение относительно можно применить к любому корню, этого многочлена, так что Следовательно,

Заметим, что если то расширение слабо разветвлено.

Предложение 12. Пусть слабо вполне разветвленное расширение поля К. Тогда существует элемент порядка 1 относительно удовлетворяющий уравнению вида

где — некоторый элемент порядка 1 относительно поля К. Обратно, пусть а — любой элемент кольца положительное целое число, не делящееся на Тогда любой корень уравнения

порождает слабо разветвленное расширение поля К, которое вполне разветвлено, если порядок относительно элемента а взаимно прост с

Доказательство. Пусть , где не делится на Пусть а — любой корень многочлена Запишем а в виде где некоторое целое число, а — единица кольца А. Тогда содержится в поле где С — примитивный корень степени из 1. Расширение неразветвлено над К, так что остается простым элементом идеала Расширение слабо вполне разветвлено, так что индекс ветвления поля над К делит индекс ветвления поля над К. Отсюда следует, что поле слабо разветвлено над Если порядок элемента а относительно взаимно прост можно найти два целых числа для которых

Положим Элементы и имеют один и тот же порядок относительно так что интересующий нас индекс ветвления не меньше Поэтому он равен

(так как ), и наше расширение слабо вполне разветвлено.

Остается установить, что всякое вполне слабо разветвленное расширение порождено корнем уравнения вида

для некоторого простого элемента идеала Для этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Пусть положительное целое число, не делящееся на Пусть конечное вполне разветвленное расширение поля — простой элемент идеала такой элемент поля для которого Тогда существует такой элемент порядка 1 относительно что один из корней уравнения содержится в поле

Доказательство. Можно положить где некоторая единица в кольце В. Так как наше расширение вполне разветвлено, степень поля классов вычетов равна 1 и, значит, существует такая единица что Полагая получим

где . Тем самым

Пусть — корни этого многочлена. Тогда

Но при всех Следовательно, хотя бы для одного значения скажем имеем

С другой стороны,

и . Это показывает, что для всех пар имеет место равенство . В силу леммы Краснера отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Предложение 12 сразу же получается отсюда, если положить

Предложение 13. Пусть — конечное расширение поля К. Все утверждения предложения 8 останутся справедливыми, если слово «неразветвленное» всюду заменить словами «слабо разветвленное».

Доказательство. Стандартные рассуждения с использованием мультипликативности индекса ветвления и предложения 12.

Следствие. Пусть конечное расширение поля композит всех его слабо разветвленных под расширений. Тогда поле слабо разветвлено над К, а поле вполне разветвлено над Далее, число является степенью характеристики поля классов вычетов.

Доказательство. Пусть индекс ветвления поля

где взаимно просто с Пусть элемент первого порядка относительно идеала и

В силу леммы поле содержит слабо разветвленное подрасширение с индексом ветвления Композит этого расширения с максимальным неразветвленным расширением поля является слабо разветвленным расширением поля К, а из определения следует, что индекс ветвления поля над Травен . С другой стороны, поле вполне разветвлено над (потому что содержит значит, Любое слабо разветвленное подрасширение поля должно содержаться в иначе его композит с был бы слабо разветвлен над Это доказывает следствие.

Наконец, мы докажем полезную теорему конечности для -адических полей.

Предложение 14. Пусть К есть -адическое поле (конечное расширение поля Для всякого целого числа существует лишь конечное число расширений поля К степени, не превосходящей

Доказательство. Так как существует единственное неразветвленное расширение каждой степени, соответствующее расширению поля классов вычетов, и так как всякое расширение получается в виде последовательности неразветвленного и вполне разветвленного расширения, достаточно показать, что существует только конечное число вполне разветвленных расширений данной степени Но все такие расширения задаются корнями уравнений Эйзенштейна

где коэффициенты а принадлежат единица ( — фиксированный простой элемент идеала ). Прямое произведение

идеала взятого раз, и группы единиц компактно. Любой элемент этой группы описывает конечное число расширений степени (соответствующих различным корням уравнения Эйзенштейна). В силу леммы Краснера некоторая окрестность любого элемента определяет то же самое расширение (предложение 4, § 2), так что конечность числа расширений следует из компактности.