§ 4. Окончание доказательства

Нижняя граница для вычета, полученная в § 2, приводит к неравенству вида

Как мы уже отмечали, отношение ограничено на множестве всех числовых полей, отличных от Это позволяет следующим образом дополнить первое утверждение леммы 2.

Теорема 3. Существует такая константа что для всех полей нормальных над имеет место неравенство

Далее, если пробегает некоторую последовательность полей, нормальных над для которой из предыдущего неравенства вытекает, что

Комбинируя этот результат с леммой 2, получаем:

Теорема 4. Пусть пробегает некоторую последовательность полей, нормальных над для которой Тогда

Нетрудно оценить дискриминант наименьшего нормального расширения содержащего данное числовое поле

где Применяя теорему 2 к полям и полагая находим

С другой стороны, теорема 1 в применении к полю дает

так что

и

Оценивая через как выше, получаем, наконец,

Число полей с ограниченным дискриминантом конечно. Левая часть последнего неравенства ограничена снизу и не имеет отрицательных предельных значений, когда пробегает все числовые поля, отличные от Из леммы 2 следует наш основной результат.

Теорема 5. Пусть пробегает все числовые поля, отличные от степень над наименьшего

нормального поля содержащего Тогда множество значений величины

ограничено и имеет своей единственной предельной точкой 0.

Следствие. Пусть пробегает числовые поля фиксированной степени над полем Тогда имеет место асимптотическая формула

Доказательство. Очевидно, учитывая, что