§ 2. Локальная мультипликативная теория

Группой единиц нашего локального поля называется ядро гомоморфизма

группы Если есть -адическое нормирование, является компактной и открытой подгруппой; компактна, она в любом случае.

Квазихарактером группы называется всякий непрерывный гомоморфизм с этой группы в мультипликативную группу комплексных чисел. Тем самым характер — это квазихарактер, значения которого по абсолютной величине равны единице. Квазихарактер называется неразветвленным, если на он тривиален.

Предложение 1. Не разве те ленные квазихарактеры представляют собой отображения вида

где любое комплексное число. Оно однозначно определено, если V — архимедово нормирование, и с точностью до целого кратного если является -адическим.

Доказательство. Значение неразветвленного квазихарактера зависит только от Воспользуемся тем, что

в архимедовом и -адическом случаях соответственно. Во втором случае разложение определяется, конечно, неканонически. Оно задается выбором элемента первого порядка и представлением всякого элемента в виде

где - целое число, — единица. Отсюда следует наше утверждение.

Ограничение любого квазихарактера с на группу единиц определяет некоторый характер этой группы, потому что она компактна. Обратно, для всякого характера х группы функция

представляет собой квазихарактер.

Если архимедово нормирование, то любой характер х группы можно представить в виде

где целое число, равное 0 или 1, если вещественное; -вещественное число; однозначно определены характером

Если есть -адическое нормирование, то подгруппы образуют фундаментальную систему окрестностей единицы в группе Поэтому любой квазихарактер с должен на одной из этих подгрупп быть единичным. Пусть наименьшее целое число, для которого с Идеал

мы назовем ведущим идеалом характера с. (Если то по определению.)

Число или в архимедовом и неархимедовом случаях соответственно мы будем одинаково называть степенью ветвления квазихарактера с и характера

Зафиксировав простой элемент в -адическом случае и соответствующее разложение

мы будем символом а обозначать (У-компоненту элемента (так что если архимедово), а символом - ограничение на Элементарные свойства групп показывают, что

Предложение 2. Квазихарактерами группы являются всевозможные отображения вида

где — любой характер группы однозначно определенный квазихарактером с. Комплексное число определяется предложением 1.

Вещественная часть числа введенного в предложении 2, однозначно определяется квазихарактером. Мы будем называть ее вещественной частью этого квазихарактера и обозначать символом

Вернемся теперь к мере Хаара. Если функция принадлежит пространству непрерывных функций на с компактным носителем, то функция принадлежит пространству Следовательно, мы можем определить нетривиальный функционал на формулой

Очевидно, он инвариантен относительно мультипликативных сдвигов и положителен, а следовательно, соответствует некоторой мере Хаара. Переходя к пределу, получаем

Предложение 3. Функция принадлежит пространству в том и только том случае, когда функция принадлежит пространству Для таких (функций имеет место тождество

где вышеупомянутая мера Хаара на группе -мера на аддитивной группе

На самом деле нам будет удобнее пользоваться мерой Хаара на отличающейся от описанной в -адическом случае некоторым множителем так, чтобы мера группы почти всегда была равна единице. Тем самым мы положим

Предложение 4. В -адическом случае

Доказательство. Результат получается немедленно из определения аддитивной меры Хаара, данного в § 1, если учесть, что при и что