Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава III. ДИФФЕРЕНТА И ДИСКРИМИНАНТИзучение дифференты и дискриминанта доставляет информацию о разветвленных простых идеалах, а также вводит некоторую двойственность, существенную как в алгебраической теории ветвления, так и в последующих главах об аналитической двойственности. Кроме того, эти понятия позволяют дать хороший метод вычисления кольца целых чисел в числовом поле; см. ниже предложение 10. § 1. Дополнительные модулиНа протяжении этого параграфа А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных,
Пусть Кроме того, имеют место следующие утверждения. Предложение 1. Пусть
где Доказательство. Пусть
где
так что обратное включение также тривиально. Поскольку всякий дробный идеал кольца В зажат между двумя Следствие. Если Предложение 2. Пусть
Тогда базис, двойственный к степенному
Доказательство. Пусть
Для доказательства обозначим символом Многочлены
все сопряжены друг с другом. Если определить след многочлена с коэффициентами в поле коэффициентам,
Сравнивая коэффициенты при каждой степени X в левой и правой частях этого равенства, находим
что доказывает наше утверждение. Следствие. Предположим, что Доказательство. Пользуясь рекуррентными формулами
убеждаемся, что числа Предложение 3. Пусть А — дискретно нормированное кольцо, пусть существует единственный простой идеал в кольце Доказательство. Пусть Тогда
и вычетов Этот результат доставляет критерий возможности применить предложение 2. Оно применимо, в частности, в локальном случае, когда наше дедекиндово кольцо полно. Предложение 4. Пусть
Доказательство. Имеем
так что Для удобства формулировки следующего предложения обозначим символом ВЕ/К модуль, дополнительный к В. Индекс нужен, потому что мы будем иметь дело больше чем с двумя полями. Предложение 5. Пусть
Доказательство. Сначала установим включение
откуда следует требуемое. Обратно, пусть
(можно вставить С, потому что
и
Дробный С-идеал
Умножая на В прежних обозначениях определим дифференту
выражающая мультипликативность дифференты в башне расширений. Дифферента есть обращение дробного идеала, содержащего кольцо целых чисел, и потому она сама является идеалом. Предложение 6. Пусть
Доказательство. Очевидно. Предложение 6 позволяет вычислять дифференту покомпонентно, локализуя относительно простых идеалов. Преимущество этого способа состоит в том, что Выясним теперь, как дифферента ведет себя при пополнении и как ее вычислять чисто локальными средствами. Пользуясь предложением Предложение 7. Пусть А — дискретно нормированное кольцо,
Доказательство. Мы можем вместо дифферент рассматривать модули, дополнительные к кольцам. Поскольку дифференты являются идеалами, достаточно установить, что
Пусть
(как оператор на Пусть Обратно, пусть
Глобальный след слева лежит в А. Каждый член суммы справа лежит в Приведенные рассуждения показывают, что множество В плотно в модуль относительно следа Пусть
Каждый идеал можно интерпретировать как Обычно идеал
|
1 |
Оглавление
|