Глава III. ДИФФЕРЕНТА И ДИСКРИМИНАНТ

Изучение дифференты и дискриминанта доставляет информацию о разветвленных простых идеалах, а также вводит некоторую двойственность, существенную как в алгебраической теории ветвления, так и в последующих главах об аналитической двойственности. Кроме того, эти понятия позволяют дать хороший метод вычисления кольца целых чисел в числовом поле; см. ниже предложение 10.

§ 1. Дополнительные модули

На протяжении этого параграфа А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля целое замыкание кольца Пусть некоторая аддитивная подгруппа поля Определим дополнительное к ней множество (относительно следа) как совокупность всех тех для которых

является аддитивной группой. Если то

Пусть две аддитивные подгруппы поля Тогда

Кроме того, имеют место следующие утверждения.

Предложение 1. Пусть базис поля над К, и пусть Тогда

где базис, двойственный относительно следа.

Доказательство. Пусть и пусть

где Тогда так что для всех Это доказывает, что Обратно,

так что обратное включение также тривиально.

Поскольку всякий дробный идеал кольца В зажат между двумя -модулями типа для подходящих базисов поля над К, а кольцо — нетерово, получаем

Следствие. Если — дробный идеал кольца В, то тоже дробный идеал. Кроме того, В а В.

Предложение 2. Пусть конечное сепарабельное расширение степени Пусть неприводимый многочлен над полем К, корнем которого является его производная, и

Тогда базис, двойственный к степенному состоит из чисел

Доказательство. Пусть различные корни многочлена Тогда

Для доказательства обозначим символом разность левой и правой частей этого равенства. Тогда многочлен степени не более имеющий корней: ; поэтому

Многочлены

все сопряжены друг с другом. Если определить след многочлена с коэффициентами в поле как многочлен, получающийся применением оператора следа к

коэффициентам, получим

Сравнивая коэффициенты при каждой степени X в левой и правой частях этого равенства, находим

что доказывает наше утверждение.

Следствие. Предположим, что Тогда

Доказательство. Пользуясь рекуррентными формулами

убеждаемся, что числа порождают над то же кольцо, что и числа Отсюда немедленно вытекает наше следствие.

Предложение 3. Пусть А — дискретно нормированное кольцо, пусть существует единственный простой идеал в кольце лежащий над максимальным идеалом кольца А, и пусть расширение поля сепарабельно. Тогда сиществиет такой элемент что

Доказательство. Пусть элемент кольца В, класс вычетов которого порождает поле над Пусть многочлен над со старшим коэффициентом 1, редукция которого является неприводимым многочленом с корнем Пусть — элемент порядка 1 относительно идеала в кольце В.

Тогда

и Следовательно, либо элемент либо обладает тем свойством, что его класс

вычетов порождает поле над , а в кольце существует элемент порядка 1 относительно . В силу предложения 23 гл. I, § 7, заключаем, что

Этот результат доставляет критерий возможности применить предложение 2. Оно применимо, в частности, в локальном случае, когда наше дедекиндово кольцо полно.

Предложение 4. Пусть дробный идеал кольца В. Тогда

Доказательство. Имеем

так что Обратное включение столь же очевидно.

Для удобства формулировки следующего предложения обозначим символом ВЕ/К модуль, дополнительный к В. Индекс нужен, потому что мы будем иметь дело больше чем с двумя полями.

Предложение 5. Пусть — сепарабельные расширения, С — целое замыкание кольца А в поле — целое замыкание кольца А в поле Тогда

Доказательство. Сначала установим включение Имеем

откуда следует требуемое.

Обратно, пусть Тогда

(можно вставить С, потому что Тем самым

и

Дробный С-идеал можно внести под знак оператора потому что он содержится в поле Следовательно,

Умножая на находим, что это завершает доказательство обратного включения.

В прежних обозначениях определим дифференту как Из доказанного результата получается формула

выражающая мультипликативность дифференты в башне расширений.

Дифферента есть обращение дробного идеала, содержащего кольцо целых чисел, и потому она сама является идеалом.

Предложение 6. Пусть мультипликативное подмножество кольца А. Тогда

Доказательство. Очевидно.

Предложение 6 позволяет вычислять дифференту покомпонентно, локализуя относительно простых идеалов. Преимущество этого способа состоит в том, что является кольцом главных идеалов.

Выясним теперь, как дифферента ведет себя при пополнении и как ее вычислять чисто локальными средствами.

Пользуясь предложением мы можем считать, что дискретно нормированное кольцо.

Предложение 7. Пусть А — дискретно нормированное кольцо, его нормирование, простой идеал кольца В, лежащий над простым идеалом кольца А. Пусть — нормирование, соответствующее идеалу соответствующие пополнения. Тогда

Доказательство. Мы можем вместо дифферент рассматривать модули, дополнительные к кольцам. Поскольку дифференты являются идеалами, достаточно установить, что

Пусть — оператор следа из оператор локального следа из где любое нормирование поля индуцирующее и на К. Тогда

(как оператор на .

Пусть и пусть Выберем элемент близкий к х относительно и близкий к нулю относительно других нормирований Пусть Тогда элемент близок к нулю, если и принадлежит кольцу при потому что локальный след непрерывен. Отсюда вытекает, что элемент принадлежит кольцу А и, следовательно, лежит в дополнительном модуле В.

Обратно, пусть Найдем элемент близкий к х относительно и близкий к нулю относительно остальных нормирований Найдем также элемент близкий к у относительно и близкий к нулю относительно остальных нормирований Тогда

Глобальный след слева лежит в А. Каждый член суммы справа лежит в Следовательно, лежит в Поскольку элементы близки к х, у соответственно, отсюда вытекает, что след принадлежит кольцу

Приведенные рассуждения показывают, что множество В плотно в (локально дополнительный

модуль относительно следа откуда и следует наше предложение.

Пусть дифферента кольца В над А. С точки зрения формальных идеалов имеет место разложение

Каждый идеал можно интерпретировать как -компоненту дифференты дифференты (если или как дифференту где нормирования, определенные идеалами и соответственно.

Обычно идеал называют глобальной дифферентой, а локальной дифферентой. Мы можем отождествить и как формальные идеалы и в этом смысле утверждать, что глобальная дифферента является произведением локальных дифферент.