7. Дискретно нормированные кольца

Дискретно нормированным кольцом о называется кольцо главных идеалов, имеющее единственный (ненулевой) простой идеал Такое кольцо локально. Образующий элемент идеала является единственным неприводимым элементом кольца о (с точностью до единицы, разумеется), т. е. единственным простым элементом, так как всякий простой элемент порождает простой идеал. Поэтому в рассматриваемом случае однозначность разложения, имеющая место в любом кольце главных идеалов, принимает особенно простой вид: всякий ненулевой элемент представляется в форме

где - целое число, — единица в .

Всякое дискретно нормированное кольцо — дедекиндово, а всякое дедекиндово кольцо с единственным максимальным идеалом дискретно нормировано. Пусть А — дедекиндово кольцо, простой идеал кольца А. Тогда дискретно нормированное кольцо, ибо где (ср. предложение 16).

Так как все идеалы дискретно нормированного кольца главные, все они являются степенями максимального идеала.

При доказательстве различных результатов о дедекиндовых кольцах часто оказывается полезным производить локализацию относительно одного простого идеала, что приводит к дискретно нормированному кольцу. Примером может служить следующее предложение.

Предложение 18. Пусть А — дедекиндово кольцо, два -модуля. Для всякого простого идеала

положим Если для всех то

Доказательство. Пусть Для всякого существуют такие элементы что Пусть — идеал, порожденный всеми Это единичный идеал, так что

где причем только конечное число элементов отлично от нуля. Поэтому

так что что и требовалось доказать.

Всякое дискретно нормированное кольцо А является кольцом главных идеалов, так что любой конечно порожденный -модуль без кручения свободен. Если его ранг равен — простой идеал кольца свободный модуль ранга над

Предложение 19. Пусть А — локальные кольцо, — свободный модуль ранга над А. Пусть — максимальный идеал кольца А. Тогда векторное пространство размерности над

Доказательство. Рассмотрим базис модуля над А. Если его элементы линейно зависимы то существует соотношение вида

где и по крайней мере один из коэффициентов скажем не принадлежит Деля на получаем, что Положим

Тогда так что в силу леммы Накаяма — противоречие.

Пусть теперь А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля целое замыкание кольца Для всякого простого

идеала имеет место разложение

на простые идеалы кольца В. Очевидно, что простой идеал а В входит в это разложение тогда и только тогда, когда он лежит над

Пусть применяя к этому разложению операцию получаем разложение идеала в кольце Простые идеалы остаются различными.

Число называется индексом ветвления простого идеала над и обозначается иногда символом Если А — локальное кольцо, то главный идеал (предложение 15). Пусть дополнение к в кольце В, и пусть Тогда — главный идеал, порожденный элементом и

Предупреждение: кольцо не обязательно цело над Оно цело в том и только том случае, когда в кольце В существует лишь один простой идеал, лежащий над Докажите это в качестве упражнения.

Пусть группа дробных идеалов дедекиндова кольца значения те же, что и выше. Имеет место естественное вложение

определенное отображением а Мы введем сейчас некоторый гомоморфизм в обратном направлении.

Пусть а В лежит над символом или мы будем обозначать степень расширения над назовем ее степенью поля классов вычетов. Назовем нормой идеала идеал и распространим отображение на всю группу дробных идеалов по мультипликативности.

Предложение 20. Пусть А — дедекиндово кольцо, К - его поле частных, его конечные сепарабельные расширения, башня целых замыканий кольца А в полях Пусть простой идеал кольца некоторый простой идеал кольца В,

лежащий над , а — некоторый простой идеал кольца С, лежащий над Тогда

Доказательство. Очевидно.

Из предложения 20 вытекает, что норма транзитивна, т. е. что для всякого дробного идеала с кольца С

Предложение 21. Пусть А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля целое замыкание кольца А в поле Пусть простой идеал кольца А. Тогда

Доказательство. Локализуем относительно идеала умножая на задача сводится к случаю, когда дискретно нормированное кольцо. В этом случае свободный модуль ранга над А, так что векторное пространство размерности над

Пусть Так как для каждого то определен гомоморфизм

и тем самым гомоморфизм в прямую сумму

Каждое кольцо можно рассматривать как векторное пространство над то же относится ко всей прямой сумме. Ядро нашего гомоморфизма состоит из тех элементов кольца В, которые принадлежат всем идеалам и, следовательно, идеалу Кроме того, в силу китайской теоремы об остатках этот гомоморфизм эпиморфен. Очевидно, он является -гомоморфизмом, так что пространство, -изоморфное построенной прямой сумме.

Вычислим теперь размерность пространства один из идеалов

Пусть образующий элемент идеала (В силу предложения главный идеал.) Пусть -целое число. Группу можно рассматривать как -пространство, потому что Умножение на индуцирует отображение

Очевидно, оно является -гомоморфизмом, который одновременно мономорфен и эпиморфен. Следовательно, пространства и -изоморфны.

Рассмотрим композиционный ряд -пространства связанный с цепочкой

-размерность пространства по определению, равна Тем самым -размерность пространства равна что доказывает наше утверждение. Если для всех мы говорим, что идеал вполне распадается в поле . В этом случае ровно простых идеалов кольца В лежат над

Разумеется, предложение 21 можно доказать также в терминах абсолютных значений и нормирований, как в [7, гл. I]. Мы привели этот результат здесь, чтобы показать стилистическую разницу между двумя подходами к теории.

Следствие 1. Пусть а — дробный идеал кольца А. Тогда

Доказательство. Очевидно.

Следствие 2. Предположим, что расширение Галуа поля Тогда индексы равны одному и тому же числу всех а степени — одному и тому же числу (для всех так что если

Доказательство. Все простые идеалы лежащие над сопряжены между собой, и, следовательно, все индексы ветвления и степени полей классов вычетов совпадают. Последнее равенство очевидно.

Следствие 3. Пусть снова расширение Галуа над К с группой и пусть простой идеал кольца В, лежащий над А. Тогда

где числа имеют те же значения, что и в следствии 2, а идеал слева рассматривается как элемент группы Число равно порядку группы разложения идеала а число порядку группы инерции.

Доказательство. руппа транзитивно действует на множество простых идеалов кольца В, лежащих над и порядок группы равен порядку стационарной подгруппы. Предложение 14 § 5 делает наши утверждения очевидными.

Предложение 22. Пусть А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля целое замыкание кольца А в поле Пусть главный дробный идеал кольца Тогда

где норма слева — это норма дробного идеала, определенная выше, а норма справа — обычная норма элемента поля

Доказательство. Пусть наименьшее расширение Галуа поля К, содержащее Нормальное отображение из идеала и элемента состоит в возведении того и другого в степень Так как наше утверждение относится к равенству дробных идеалов, достаточно доказать его в случае, когда расширение Галуа над К. Но тогда оно немедленно вытекает из следствия 3.

Предложение 23. Пусть А — дискретно нормированное кольцо, К его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля целое замыкание кольца А в поле Предположим, что существует единственный простой идеал кольца В, лежащий над максимальным идеалом кольца А. Пусть — элемент кольца В, класс вычетов которого порождает поле над и пусть элемент кольца В, имеющий порядок 1 относительно Тогда

Доказательство. Пусть ; С можно рассматривать как подмодуль А-модуля В. В силу леммы Накаяма в применении к фактормодулю достаточно проверить, что

Но , а произведения порождают пространство над полем — это проверяется так же, как в доказательстве предложения 21. Тем самым всякий элемент сравним с линейной комбинацией вида

где Это доказывает наше утверждение.

Наконец, обобщая рассуждения, использованные в доказательстве предложения 21, получаем следующий результат.

Предл о жен и Пусть А — дедекиндово кольцо, -ненулевой идеал. Положим Тогда каноническое отображение

индуцирует изоморфизм факторкольца с произведением справа.

Доказательство. Эпиморфность отображения следует из китайской теоремы об остатках; то, что ядро совпадает с , очевидно.

Следствие. Пусть факторкольцо конечно для всякого простого идеала Обозначим символом число элементов в кольце классов вычетов Тогда

Отметим еще, что функцию можно продолжить по мультипликативности на все дробные идеалы.