§ 3 Дискриминант

На протяжении этого параграфа А — дедекиндово кольцо, его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля К степени ; В — целое замыкание кольца А в поле

Пусть любое семейство из элементов поля Определим дискриминант этого семейства

как квадрат определителя: пробегает различных вложений поля в данное алгебраическое замыкание поля К.

Пусть два семейства элементов поля предположим, что существует матрица элементов поля К, для которой Тогда

Если все элементы матрицы X принадлежат А, то и Поэтому в случае, когда порождают один и тот же -модуль, матрица X обратима в кольце А, и ее определитель является единицей в А. Тем самым соответствующие определители отличаются на квадрат единицы.

- В частности, при (кольцо обычных целых чисел) дискриминант однозначно определяется модулем. Дискриминант кольца целых алгебраических чисел как -модуля будет называться просто дискриминантом (или дискриминантом поля К) и обозначаться символом

Предложение 9. Дискриминант принадлежит полю К и даже кольцу А, если все элементы семейства принадлежат В. Дискриминант отличен от нуля в том и только том случае, когда семейство составляет базис поля над К.

Доказательство. Применение к любого изоморфизма поля над К переставляет строки и потому, сводится к умножению определителя на ±1; возведение в квадрат избавляет от этого множителя. Для всякой образующей а поля над К дискриминант есть квадрат определителя Вандермонда и потому не равен нулю. То же относится, следовательно, к любому базису V поля над К в силу сделанного выше замечания об изменении дискриминанта при линейных преобразованиях. Если элементы семейства линейно зависимы над К, дискриминант, очевидно, равен нулю. Если все они целы над А, то и дискриминант, очевидно, принадлежит А (целое замыкание кольца А в любом нормальном расширении поля К, содержащем является кольцом). Предложение доказано.

Пусть свободный модуль ранга над кольцом содержащийся в поле Введем дискриминант модуля как дискриминант любого его -базиса; определение однозначно с точностью до квадрата единицы кольца

Предложение 10. Пусть свободные модули ранга над кольцом А, содержащиеся в поле Тогда делит (как главный идеал). Если для некоторой единицы и выполняется равенство то

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Из второго условия следует, что матрица перехода от базиса модуля к базису модуля обратима в кольце так что

Вообще говоря, существуют дробные идеалы кольца В, не являющиеся свободными -модулями. Поэтому для любого дробного идеала кольца В символом мы обозначим -модуль, порожденный дискриминантами всевозможных базисов поля над К,

принадлежащих идеалу Модуль назовем дискриминантом дробного идеала Так как существует элемент с условием то дискриминант является дробным идеалом кольца А.

Предложение 11. Пусть —дробный идеал кольца мультипликативное подмножество кольца А. Тогда

Доказательство. Тривиальное следствие определений.

Этот результат позволяет пользоваться локализацией. Для всякого простого идеала можно вычислить -компоненту дискриминанта, локализуя по Значительное преимущество локального случая состоит в том, что дискретно нормированное кольцо, а любой дробный идеал кольца В превращается в свободный -модуль. Далее, кольцо главных идеалов, имеющее только конечное число идеалов, лежащих над Тем самым дело сводится к подсчету определителей Вандермонда.

Предложение 12. Пусть А — дискретно нормированное кольцо, дробный идеал кольца Тогда

Доказательство. Пусть является -базисом кольца В. Тогда будет -базисом идеала и результат следует из определений.

С помощью процесса локализаций мы можем распространить это предложение на случай не обязательно локального кольца.

Пр едложение 13. Пусть А — любое дедекиндово кольцо, дробный идеал кольца В. Тогда

норма идеала определена в гл. I, § 7.

Доказательство. Достаточно проверить это утверждение для всякой -компоненты дискриминанта,

простой идеал кольца А. Поэтому можно считать, что А—дискретно нормированное кольцо (предложение 11). В этом случае и требуемый результат следует из предложения 23 гл. I, § 7.

Предложение 14. Дискриминант и дифферента связаны формулой

Доказательство. В силу предложения 6, § 1, и предложения 11 мы можем считать, что А—дискретно нормированное кольцо и тем самым В — свободный -модуль. Для любого -базиса кольца В дискриминант порожден элементом Пусть дополнительный к базис относительно оператора следа. Тогда дополнительный модуль В порожден над базисом Поэтому Из определения дискриминанта базиса непосредственно видно, что

Следовательно, Пользуясь предложением 4, § 1, и предложением 13, получаем требуемое.

Наконец, рассмотрим конечное сепарабельное расширение поля К степени пусть Введем дифференту и дискриминант элемента формулами

Предложение 15. Имеем

Доказательство. Упражнение на перестановку строк определителя.