§ 2. Тауберова теорема Икеара

В этом параграфе мы предполагаем, что монотонно возрастающая функция и при Положим

Монотонность означает, что

Для заданного рассмотрим класс монотонно возрастающих функций при 0, обладающих следующими свойствами:

1. Интеграл (1) сходится при

2. Для всякого положим

Мы требуем, чтобы предел существовал равномерно по на отрезке (следовательно, функция непрерывна на этом отрезке).

Тауберова теорема устанавливает существование таких двух функций от переменной X, что для любой функции из рассматриваемого класса имеют место неравенства

и, кроме того,

Если известно, что функция принадлежит описанному классу для всех X, то

Именно эту формулу мы используем в приложениях.

Докажем тауберову теорему. Число по определению, равно

(что совпадает с обычным значением

Лемма. В сформулированных предположениях имеем

Доказательство. Полагая и используя формулу (3), находим

учитывая, что Тем самым

равномерно на отрезке при фиксированном

Наша следующая цель — вывести формулу (6) (см. ниже). Умножим последнее соотношение на функцию и проинтегрируем по от до 2%. Справа мы можем поменять местами интегрирование и предельный переход. Полагая

находим

Интегрирования (оба по конечным отрезкам) можно переставить. Это дает

Внутренний интеграл справа берется в элементарных функциях. Имеем

Замена переменных и интегрирование по частям дает

Тем самым интеграл (4) равен

Интеграл существует, потому что он определен уже при Прибавляя его к обеим частям равенства (5), находим

Теперь перейдем к пределу при Что происходит с левой частью при

Первый интеграл сходится к

где непрерывная функция ибо сходимость равномерна.

Остаточный член второго интеграла оценивается величиной

которая мала при больших равномерно по Далее, при

Следовательно, предел второго интеграла равен

Что происходит с правой частью формулы Мы доказали, что ее предел при существует.

Подинтегральная функция положительна и возрастает при Поэтому интеграл

меньше этого предела при всех Значит, и интеграл

не больше предела. Следовательно,

существует. Его остаточный член мал, но больше остаточного члена интеграла в правой части равенства (6). Следовательно, предел правой части равен

Следовательно,

Что происходит с этим равенством, когда Первый интеграл слева является коэффициентом Фурье непрерывной функции следовательно, стремится к нулю по лемме Римана — Лебега. Второй интеграл слева стремится к . Это доказывает лемму.

Теперь мы применим ее. Заметим, что при имеем так что

Начиная с этого места, доказательство становится формальным. Идея вывода обоих неравенств состоит в рассмотрении интеграла в конечных пределах, зависящих от

Отметим, что подинтегральная функция неотрицательна. Уменьшая область интегрирования, получаем

Пользуясь монотонностью функции и соответствующим неравенством для , находим, что в интервале

Тем самым

Поскольку X фиксировано, можно заменить у на Поэтому

и . Первая половина тауберовой теоремы доказана.

Из нее уже следует, что функция ограничена. Поэтому

и этот интеграл стремится к нулю, когда Тем самым

(Мы берем в качестве предела интегрирования так, чтобы Если число у достаточно велико, то Поэтому в формуле (8) оценивается сверху величиной при достаточно больших у.

Положим теперь

и заменим область интегрирования в соотношении (8) при больших у на Остаточными членами будут

и

Поэтому

Снова из монотонности получаем, что на этом интервале

Тем самым

Заменяя у на а интеграл — числом , имеем

Очевидно, что Тауберова теорема доказана.