§ 2. Нижняя оценка для вычета

Лемма 3. Пусть вещественное число, Предположим, что (или, что то же самое, . Тогда

Доказательство. В силу теоремы 15 гл. VII, § 8, имеем

Уменьшим область интегрирования до где множество единиц для неархимедовых и область

для архимедовых Значение интеграла при этом уменьшится; интеграл по равен произведению локальных интегралов, которые мы сейчас вычислим.

Пусть есть -адическое нормирование. Тогда значит, есть -кратная характеристическая функция множества Поэтому в этом случае интересующий нас локальный интеграл равен

Пусть теперь и — архимедово. Воспользуемся предложением 9 гл. VII, § 8, чтобы выразить через Замена переменной превращает интеграл по в

где область интегрирования имеет вид Заменим нижней гранью этой функции в области интегрирования, именно числом в вещественном случае и — в комплексном. Мера области равна соответственно. Это дает для интеграла оценку снизу вида

Произведение по всем нормированиям приводит к неравенству

где мы пользуемся числом вместо Оценка в формулировке леммы является некоторым ослаблением этого неравенства.

Наша цель состоит в доказательстве следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть Существует такое число что для всех полей нормальных над имеет место неравенство

Доказательство. Пользуясь гипотезой Римана, мы могли бы избавиться от условия нормальности. В самом деле, в рассуждениях приходится различать два случая.

Случай 1. Для всех нормальных полей функция не обращается в нуль для вещественных в интервале

Из интегрального представления тогда следует, что дзета-функция отрицательна вблизи от 1 слева. Следовательно, и, полагая,

в лемме 3, находим требуемое. Это же рассуждение проходит и для полей не являющихся нормальными.

Случай 2. Существует такое нормальное расширение поля степени что для некоторого вещественного значения удовлетворяющего неравенствам

Чтобы справиться с этим случаем, нам придется предпринять обходной путь через теорию -рядов. В следующем параграфе мы докажем такой результат.

Теорема 2. Существует такая константа что для всех числовых полей и нормальных расширений К поля имеет место неравенство

для любых

Примем пока эту теорему. Нам понадобится еще следующая фундаментальная лемма Брауэра, доказательство которой приведено в приложении.

Лемма. Пусть конечная группа, характер ее регулярного представления. Существуют такие циклические подгруппы положительные рациональные числа и одномерные характеры групп что

где звездочка означает индуцированный характер.

Мы воспользуемся этой леммой несколько раз. Для начала отметим, что если поле К нормально над для некоторого то также (Для расширений, не являющихся нормальными, вопрос остается открытым. Конечно, ответ следовал бы из гипотез Артина.) Мы используем формулу Артина

входящие в нее -ряды являются абелевыми -рядами типа, изученного в гл. VII.

Теперь приступим к разбору второго случая. Число нуль дзета-функции между и 1 и дискриминант поля можно считать функциями только от Пусть нормальное расширение поля Положим Тогда поле К нормально над следовательно,

По лемме 3,

Элементарная оценка дает

откуда

и мы получаем

В силу теоремы 2, связывающей вычеты в полях полагая получаем неравенство

Из последних двух неравенств следует теорема 1.