§ 1. Интеграл Дирихле

Пусть -вещественная функция с ограниченной вариацией на всяком конечном подинтервале полупрямой Класс функций

содержит, в частности, ряды Дирихле, если в качестве выбрать подходящую ступенчатую функцию. Мы займемся этим позже; пока будем работать с интегралом.

Предположим, что для некоторого фиксированного значения функция

ограничена на полупрямой Пусть Имеем

Очевидно, что когда и когда значения ограничены, левая часть при больших равномерно мала. Поэтому интеграл (1) сходится для этих значений

Поскольку предположение о сходимости выполняется, если в качестве взять точку сходимости интеграла (1), отсюда вытекает, что (1) сходится в полуплоскости справа от некоторой вертикальной прямой, и притом равномерно в любом компактном подмножестве этой полуплоскости. Поскольку функции аналитичны, интеграл (1) аналитичен внутри полуплоскости.

Предположим теперь, что и что интеграл (1) сходится для некоторого вещественного числа Интегрируя дифференциал получаем

Положив в первой строке мы убедимся, что наш интеграл ограничен и что два последних слагаемых справа неотрицательны. Тем самым функция ограничена по 1- Отсюда вытекает, что при

(утверждение о существовании интеграла справа, конечно, подразумевается).