Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Дедекиндовы кольцаПусть Теорема 2. Пусть Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение, следуя Ван дер Вардену. (I) Пусть Пусть это не так; в силу нетеровости кольца о существует ненулевой идеал (II) Всякий максимальный идеал Пусть
Тогда один из идеалов
и, следовательно, существует такой элемент Итак, (III) Для каждого ненулевого идеала существует обратный к нему дробный идеал. Пусть это не так. Тогда существует максимальный необратимый идеал может быть максимальным. Следовательно, астр,
Так как идеал (IV) Пусть Очевидно, что с Наконец, покажем, что всякий ненулевой дробный идеал обратим. В самом деле, пусть Теперь установим однозначность разложения на простые идеалы. Заметим сначала, что всякий ненулевой идеал Пусть даны дробные идеалы Из определения простого идеала вытекает, что если
мы можем заключить, что тем самым делит один из его сомножителей, скажем а значит, совпадает с Умножая на Пусть а — ненулевой дробный идеал,
(мы пишем Кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы 2, называется дедекиндовым кольцом. Кольцо целых алгебраических чисел в числовом поле К является дедекиндовым, потому что оно удовлетворяет всем трем условиям. В дальнейшем все дробные идеалы мы будем считать ненулевыми, если противное не оговорено явно. Пусть А — дедекиндово кольцо, а — дробный идеал. Он представляется в виде
где Пусть а — ненулевой элемент поля частных кольца Пусть
Если В дальнейшем все простые идеалы мы будем считать ненулевыми, если противное не оговорено явно. Предложение 15. Пусть Доказательство. Пусть
выберем по элементу
где
немедленно убеждаемся, что Предложение 16. Пусть А — дедекиндово кольцо,
определяет гомоморфизм группы дробных идеалов кольца А на группу дробных идеалов кольца Доказательство. Если идеалов
так что операция 5-1 индуцирует гомоморфизм группы (дробных) идеалов. Если Наше отображение эпиморфно, потому что, как было показано в § 1, всякий идеал кольца Главным дробным идеалом мы будем называть дробный идеал вида Пусть А — дедекиндово кольцо. Факторгруппа всех дробных идеалов по модулю подгруппы главных идеалов (ненулевых) называется группой классов идеалов кольца А. Предложение 17. Пусть А — дедекиндово кольцо, группа классов идеалов которого конечна. Пусть Доказательство. Все идеалы Если два дробных идеала
и называем их линейно эквивалентными. Очевидно, что всякий дробный идеал линейно эквивалентен некоторому идеалу. Позже мы покажем, что условие предложения 17 выполняется для кольца целых чисел поля алгебраических чисел.
|
1 |
Оглавление
|