§ 6. Дедекиндовы кольца

Пусть — кольцо, К — его поле частных. Дробным идеалом кольца в поле К называется всякий -модуль а, содержащийся в К, для которого существует такой элемент с что Если кольцо нетерово, из определения следует, что модуль а значит, и , конечно порожден.

Теорема 2. Пусть — нетерово целозамкнутое кольцо, каждый ненулевой простой идеал которого максимален. Тогда всякий идеал кольца однозначно разлагается на простые идеалы, а ненулевые дробные идеалы образуют группу по умножению.

Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение, следуя Ван дер Вардену.

(I) Пусть идеал в кольце о. Тогда существует произведение простых идеалов, которое содержится в .

Пусть это не так; в силу нетеровости кольца о существует ненулевой идеал , максимальный во множестве идеалов, не содержащих произведение простых идеалов. Он не может быть простым. Следовательно, существуют такие элементы что но Положим и Тогда Так как максимален в описанном множестве, некоторые произведения простых идеалов содержатся в и в Объединенное произведение тогда содержится в , что приводит к противоречию.

(II) Всякий максимальный идеал обратим.

Пусть - множество тех элементов для которых сто. Тогда Мы утверждаем, что Действительно, пусть Рассмотрим такое наименьшее число для которого существует произведение

Тогда один из идеалов скажем содержится в а значит, и совпадает с поскольку всякий простой идеал максимален. Далее,

и, следовательно, существует такой элемент что Но так что и, стало быть, . А так как то и что доказывает наше утверждение.

Итак, Так как идеал максимален, то либо либо . В первом случае всякий элемент идеала при умножении переводит в себя конечно порожденный -модуль что невозможно, так как а кольцо о целозамкнуто. Следовательно,

(III) Для каждого ненулевого идеала существует обратный к нему дробный идеал.

Пусть это не так. Тогда существует максимальный необратимый идеал . Мы уже убедились, что он не

может быть максимальным. Следовательно, астр, для некоторого максимального идеала Имеем

Так как идеал конечно порожден, равенство не может иметь места, ибо идеал не цел над о. Следовательно, идеал больше, чем , и потому имеет обратный, который, будучи умножен на даст обратный идеал для . Противоречие.

(IV) Пусть — некоторый ненулевой идеал, а с — такой дробный идеал, что Тогда (множество тех элементов для которых ).

Очевидно, что с Обратно, если то и, значит, потому что

Наконец, покажем, что всякий ненулевой дробный идеал обратим. В самом деле, пусть — ненулевой дробный идеал. Тогда существует такой элемент что , и идеал обратим. Пусть Тогда Это доказывает, что ненулевые дробные идеалы образуют группу.

Теперь установим однозначность разложения на простые идеалы.

Заметим сначала, что всякий ненулевой идеал равен произведению простых идеалов. Иначе существовал бы идеал , максимальный во множестве идеалов, не обладающий этим свойством; он не прост, так что и где некоторый простой идеал. Тогда причем включение строгое. Поэтому идеал разлагается на простые идеалы; добавив получим некоторое разложение идеала .

Пусть даны дробные идеалы Запись означает, что существует идеал с, для которого Это отношение равносильно включению так как можно положить

Из определения простого идеала вытекает, что если то либо , либо . (В самом деле, из включения следует, что либо , либо .) Поэтому, рассматривая два разложения на простые идеалы

мы можем заключить, что делит правое произведение,

тем самым делит один из его сомножителей, скажем а значит, совпадает с Умножая на обе стороны равенства, по индукции устанавливаем, что и что простые множители слева и справа совпадают с точностью до перестановки.

Пусть а — ненулевой дробный идеал, — такой ненулевой элемент, что . Тогда Поэтому а представляется в виде

(мы пишем вместо Если сократить все простые идеалы, входящие и в числитель, и в знаменатель, получившееся разложение будет определяться однозначно.

Кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы 2, называется дедекиндовым кольцом. Кольцо целых алгебраических чисел в числовом поле К является дедекиндовым, потому что оно удовлетворяет всем трем условиям.

В дальнейшем все дробные идеалы мы будем считать ненулевыми, если противное не оговорено явно.

Пусть А — дедекиндово кольцо, а — дробный идеал. Он представляется в виде

где целые числа, из которых все, кроме конечного числа, равны нулю. Число называется порядком идеала а относительно Если будем говорить, что является нулем идеала а; если полюсом.

Пусть а — ненулевой элемент поля частных кольца Мы можем образовать дробный идеал и применить понятия порядка, нуля и полюса к элементу .

Пусть дробные идеалы. Очевидно, что в том и только том [случае, когда для всех простых идеалов Тем самым получается критерий для принадлежности элемента а к дробному идеалу а в терминах порядков (рассмотреть идеал Все это немедленно показывает, что для любых двух дробных идеалов

имеем

Если элемент а называется единицей относительно . В этом случае элемент а является единицей в локальном кольце

В дальнейшем все простые идеалы мы будем считать ненулевыми, если противное не оговорено явно.

Предложение 15. Пусть — дедекиндово кольцо с конечным числом простых идеалов. Тогда — кольцо главных идеалов.

Доказательство. Пусть все простые идеалы. Для всякого идеала

выберем по элементу и найдем такой элемент что

где произведение всех простых идеалов в достаточно большой степени. Рассматривая разложение идеала, порожденного элементом а,

немедленно убеждаемся, что для всех следовательно,

Предложение 16. Пусть А — дедекиндово кольцо, его мультипликативное подмножество. Тогда кольцо тоже дедекиндово. Отображение

определяет гомоморфизм группы дробных идеалов кольца А на группу дробных идеалов кольца а его ядро состоит из тех дробных идеалов кольца А, которые пересекаются с

Доказательство. Если пересекается с то потому что Для любых двух

идеалов имеем

так что операция 5-1 индуцирует гомоморфизм группы (дробных) идеалов.

Если то для некоторых элементов Поэтому и а пересекается с Это доказывает утверждение о ядре гомоморфизма.

Наше отображение эпиморфно, потому что, как было показано в § 1, всякий идеал кольца имеет вид , где — некоторый идеал кольца Это верно, разумеется, и для дробных идеалов. Наше предложение доказано.

Главным дробным идеалом мы будем называть дробный идеал вида порожденный единственным элементом а поля частных кольца А. Мы будем считать, что если противное не оговорено явно.

Пусть А — дедекиндово кольцо. Факторгруппа всех дробных идеалов по модулю подгруппы главных идеалов (ненулевых) называется группой классов идеалов кольца А.

Предложение 17. Пусть А — дедекиндово кольцо, группа классов идеалов которого конечна. Пусть — дробные идеалы, представляющие все классы, и пусть ненулевой элемент кольца А, лежащий в пересечении идеалов Пусть мультипликативное подмножество кольца А, порожденное степенями элемента Тогда кольцо главных идеалов.

Доказательство. Все идеалы отображаются в единичный идеал гомоморфизмом описанным в предложении 16. Так как всякий идеал кольца А равен произведению одного из идеалов ; на главный идеал, наш результат вытекает из эпиморфности гомоморфизма в предложении 16.

Если два дробных идеала принадлежат одному и тому же классу, мы пишем

и называем их линейно эквивалентными. Очевидно, что всякий дробный идеал линейно эквивалентен некоторому идеалу.

Позже мы покажем, что условие предложения 17 выполняется для кольца целых чисел поля алгебраических чисел.