Глава V. ПАРАЛЛЕЛОТОПЫ

Эта глава содержит количественные результаты о распределении элементов числового поля в параллелотопах.

Речь идет о подсчете количества элементов а в числовом поле удовлетворяющих набору неравенств, по одному для каждого нормирования. Оказывается, что это количество асимптотически равно объему области (в подходящем пространстве), определенной этими неравенствами.

Затем мы воспроизведем принадлежащую Минковскому классическую теорию единиц и дискриминанта числового поля и вычислим константу Минковского.

§ 1. Формула произведения

Пусть каноническая система нормирований поля рациональных чисел Для любого элемента а имеем

Действительно, пусть сначала - простое число, тогда

Единственное архимедово нормирование для краткости будет называться бесконечным: формула произведения верна для I, потому что Отсюда следует по мультипликативности справедливость этой формулы для любого элемента группы

Пусть конечное расширение поля система нормирований поля продолжающих нормирования системы Из следствия предложения 0 гл. 11, § 1,

получаем для любого элемента

Тем самым здесь также имеет место формула произведения с кратностями

Для всякого числового поля символом обозначим подмножество архимедовых нормирований системы Обозначим через число вещественных и комплексных нормирований соответственно. Тогда

эту степень обозначим буквой Положим, кроме того, Локальная степень равна 1, если вещественное нормирование, 2 - если комплексное.

Теперь мы докажем классические утверждения о конечности числа классов и числа образующих групп единиц.

Начнем с числа классов. Покажем, что существует константа С, зависящая только от поля и такая, что для всякого ненулевого идеала а в его классе линейной эквивалентности существует идеал с условием

Отсюда следует, что число классов идеалов конечно, потому что существует только конечное число идеалов с ограниченными нормами (в самом деле, существует только конечное число простых чисел, ограниченных данной константой, а для каждого простого числа в кольце есть только конечное число простых идеалов, лежащих над

Пусть - базис кольца над - множество элементов этого кольца, имеющих вид

где — целые числа с условием

Множество содержит более чем элементов. Поэтому существуют такие различные элементы разность которых отображается в нуль при гомоморфизме

(ср. предложение 24 гл. I, § 7). Отсюда вытекает существование идеала со свойством . С другой стороны, оценим норму

где Очевидно, существует такая константа С (зависящая от максимума архимедовых нормирований элементов и от степени что

Пользуясь предложением 22 гл. I, § 7, получаем, что по определению. Это доказывает наш результат.

Теперь докажем теорему о единицах, следуя статье Артина-Уэйплса. Начнем с некоторых общих понятий.

Назовем - дивизором с вещественнозначную функцию, определенную на множестве нормирований и удовлетворяющую следующим условиям:

(2) для всех, кроме конечного числа

(3) если V — дискретное нормирование, то в поле существует такой элемент а, что с

Иногда вместо мы будем писать или кроме того, при существовании формулы произведения с кратностями положим

Назовем k - величиной или просто величиной -дивизора с число

Символом обозначим множество таких элементов что для всех имеет место неравенство

Каждый элемент определяет некоторый -дивизор, значение которого на нормировании равно Произведение двух -дивизоров является -дивизором, и для любого -дивизора с дивизор определяется равенством

Ввиду формулы произведения имеем

Иначе говоря, величины дивизоров с и совпадают.

При любом множества находятся в каноническом взаимно однозначном соответствии, которое задается отображением

Число элементов множества обозначим символом Тогда

Если представить себе, что неравенства, описывающие с, определяют ящик, все ребра которого, кроме конечного числа их, имеют длину 1, число будет количеством элементов поля, попадающих в этот ящик. Величину дивизора с можно интерпретировать как объем ящика. Мы докажем сейчас, что количество элементов в ящике приближенно равно его объему. В следующем параграфе мы получим другим методом более сильный асимптотический результат.

Теорема 0. Пусть -числовое поле. Существуют такие два числа зависящие только от поля что для любого -дивизора с имеем

Доказательство. Предположим, что во множестве существует хотя бы одно комплексное

нормирование Отождествим с комплексной плоскостью и рассмотрим квадрат с центром в начале и сторонами длины Пусть — такое целое число, что

Не ограничивая общности, мы можем считать, что так что Разобьем каждую сторону квадрата на равных частей, построив, таким образом, маленьких квадратов внутри большого.

Проекция множества на содержится в большом квадрате; так как она состоит более чем из элементов, то существуют различные элементы попадающие в один и тот же маленький квадрат. Поэтому

Для любого другого архимедова нормирования из системы имеем

а для любого неархимедова

Беря произведение по всем и, получаем

где - некоторая константа. Так как верхняя оценка получается немедленно.

Если в системе нет ни одного комплексного нормирования, действуем аналогично, пользуясь вещественным нормированием и разбивая интервал с серединой в начале координат и длины на равных частей, где

После этого применяем прежнее рассуждение.

Докажем теперь нижнюю оценку. Пусть базис кольца над Положим

где верхняя грань берется по всем архимедовым нормированиям в системе и по Это число, зависящее только от

Пусть с — данный -дивизор. В силу теоремы о приближениях существует такой элемент а что

для всякого архимедова нормирования в системе Выберем такое целое число а чтобы относительно всех неархимедовых нормирований дивизор был по норме 1. Для этого нужно, чтобы число а делилось на достаточно много простых чисел в достаточно высоких степенях. Учитывая, что ни ни не меняются при умножении с на элементы группы к, мы можем поэтому, не ограничивая общности, считать, что наш -дивизор удовлетворяет неравенствам

где - некоторое положительное целое число.

Нам следует выяснить, какие элементы попадают в множество . С этой целью рассмотрим сначала множество элементов кольца имеющих вид

где Множество содержит более чем элементов.

Каждое неархимедово нормирование в системе соответствует некоторому простому идеалу кольца Используя третье условие в определении -дивизора, мы можем очевидным образом ввести понятие порядка Положим Аддитивная группа

состоит из элементов. Рассмотрим образ множества относительно канонического гомоморфизма кольца в эту аддитивную группу. Существует подмножество множества содержащее по крайней мере

элементов, имеющих один и тот же образ. Фиксируем один элемент и пусть у пробегает все остальные элементы. Тогда для любого неархимедова нормирования в системе получаем

потому что Если же архимедово, имеет место очевидная оценка

Поэтому элементы принадлежат множеству Следовательно,

Наконец, заметим, что

где произведение берется по архимедовым нормированиям, легко вычисляемая константа, и что

где неархимедово нормирование, соответствующее Рассматривая полное произведение по всем нормированиям, получаем требуемую оценку снизу.

Пусть числовое поле, конечное подмножество системы содержащее все архимедовы нормирования. Пусть количество элементов множества Определим множество -единиц как группу тех элементов из для которых при всех

-единицы называются также просто единицами поля Строго говоря, это единицы (обратимые элементы) кольца алгебраических целых чисел

Рассмотрим следующее отображение группы в -мерное евклидово пространство:

и обозначим его символом

В силу формулы произведения образ группы содержится в гиперплоскости, определяемой уравнением

Следовательно, размерность этого образа не превосходит

Теорема о единицах утверждает, что образ является -мерной решеткой в пространстве

Решетка — это дискретная подгруппа пространства утверждение о размерности означает, что натянутое на эту решетку линейное пространство совпадает с описанной выше гиперплоскостью. Отсюда, в частности, следует, что свободная абелева группа с образующей. Ядро отображения очевидно, состоит из корней из единицы поля потому что оно является группой, элементы которой ограничены по абсолютной величине, так что эта группа конечна.

В качестве следствия из теоремы о единицах получаем.

Пусть числовое поле, конечное множество нормирований системы содержащее все архимедовы нормирования. Тогда факторгруппа по модулю подгруппы корней из единицы поля является свободной абелевой группой с образующими, где число элементов множества

Заметим, однако, что теорема о единицах дает больше, чем это следствие. В действительности она равносильна некоторому утверждению о компактности, которое мы приведем в гл. VI, § 3.

Докажем теперь теорему о единицах.

Отметим прежде всего, что в любой ограниченной области пространства может находиться только конечное число элементов группы . В самом деле, если принадлежит такой области, то нормы х и всех его сопряженных ограничены, а тогда х может быть корнем одного из конечного числа уравнений степени над полем потому что коэффициентами каждого такого

уравнения являются элементарные симметрические функции от х и всех его сопряженных. По хорошо известному свойству евклидова пространства, доказательство которого мы напомним в конце, отсюда следует, что является дискретной конечно порожденной подгруппой пространства Мы должны доказать, что ее размерность равна

С этой целью покажем сначала, что для любого данного индекса в группе существует такой вектор что при После этого мы установим, что векторов такого типа линейно независимы над

Нам понадобится следующая

Лемма. Для любого нормирования можно найти такое число с что для всякого -дивизора с существует элемент с условием

Доказательство. Пусть константа из теоремы 0. Положим если архимедово нормирование, и если соответствует простому идеалу Пусть с является -дивизором, отличающимся от с только в и таким, что

Такой дивизор можно выбрать, потому что если архимедово, то -компоненту дивизора можно менять как угодно, а если неархимедово, то группа значений состоит из степеней что в силу выбора также позволяет добиться требуемого. Положим

В силу теоремы так что существует элемент Иначе говоря,

для всех Положим Тогда выполняется левое неравенство леммы. Далее,

для всех Произведение взято по всем Так как с отличается от с только в мы доказали и правое неравенство.

Вернемся к доказательству теоремы. Если и то группа значений бесконечная циклическая, порожденная числом и существует только конечное число простых идеалов с условием

Следовательно, существует такая конечная система нормирований что при имеем

где выбран, как в лемме. Далее, величины

могут принимать только конечное множество значений. Пусть — все эти значения. Для любого дивизора с и любого элемента удовлетворяющего лемме, имеем

для некоторого при всех Отсюда вытекает, что Подставляя это в неравенство леммы, находим

при всех Так как элементы фиксированы, изменим с так, чтобы с при очень велико при всех Тогда норма очень мала при всех . В силу формулы произведения норма должна быть велика. Это доказывает наше первое утверждение.

Итак, мы нашли такие элементы что матрица знаков векторов

имеет вид

Пусть — столбцы матрицы, составленной из координат. Покажем, что первые из них линейно независимы над Предположим, что имеет место соотношение

в котором не все коэффициенты нулевые. Можно считать, что и при всех Рассматривая соответствующую линейную комбинацию элементов первой строки, получаем

потому что при Но по формуле произведения

Мы пришли к противоречию.

Для удобства читателя воспроизведем доказательство того, что дискретная подгруппа евклидова пространства является свободной абелевой группой. Проведем индукцию по размерности подгруппы, т. е. по максимальному числу ее элементов, линейно независимых над

Пусть — такая подгруппа, максимальная система независимых векторов в ней. Пусть подгруппа группы содержащаяся в подпространстве, натянутом на По индуктивному предположению, можно считать, что любой элемент группы является целочисленной линейной комбинацией векторов

Рассмотрим подмножество всех векторов вида

где - вещественные коэффициенты, удовлетворяющие неравенствам

Это множество ограничено. Пусть — вектор из этого множества с наименьшим ненулевым последним коэффициентом

Начав с любого вектора группы мы можем подобрать целые коэффициенты таким образом, чтобы вектор

лежал в а коэффициент при был Тогда этот коэффициент должен быть нулевым, а элемент принадлежит подгруппе Это доказывает наш результат.