§ 3. Символ Артина

Пусть числовое поле, К — расширение Галуа с группой Пусть простой идеал кольца простой идеал кольца лежащий над Поле классов вычетов конечно и имеет, по определению, элементов. Существует единственный автоморфизм а поля над для которого при всех

Пусть идеал неразветвлен над Согласно предложению 14 гл. I, § 5, в группе разложения существует единственный элемент а, индуцирующий о на поле классов вычетов. Этот элемент обозначается символом

Пусть - другой простой идеал, лежащий над Тогда элементы сопряжены в группе Следовательно, если поле К абелево над группы разложения и совпадают и

Тем самым этот элемент группы определен однозначно; он обозначается символом

и называется символом Артина (или автоморфизмом Фробениуса) идеала в группе Его можно отождествлять с соответствующим автоморфизмом расширения поля классов вычетов.

В качестве примера рассмотрим поля где — целое число, примитивный корень из единицы степени Пусть простое число, не делящее Оно неразветвлено в поле К? Положим Тогда

Закон взаимности Артина позволяет определить все имеющие фиксированный символ Артина. Для расширений символ Артина зависит от класса вычетов Аналогичное утверждение имеется в общем

случае, но мы не будем входить в подробности. Ограничимся доказательством следующего результата.

Предложение 1. Пусть числовое поле, К — его абелево расширение, конечное расширение, — простой идеал кольца не разветвленный в поле Пусть идеал кольца лежащий над Тогда ограничение автоморфизма на поле К равно где степень поля классов вычетов:

Доказательство. Пусть лежит над идеалом в кольце лежит над в кольце Тогда для любого

элемента и автоморфизма имеем Ограничение а на К, очевидно, принадлежит группе разложения идеала и является степенью автоморфизма в силу определения.

Заметим, что этот результат можно представить в виде если по мультипликативности распространить на идеалы определение символа Артина.