§ 2. Точки решетки в параллелотопах

В этом параграфе мы докажем следующее уточнение теоремы 0.

Теорема 1. Пусть числовое поле, Положим

Тогда для любого -дивизора с количество элементов в области допускает оценку

Иначе говоря, существуют такие константы зависящие только от что при имеем

Доказательство. Начнем с некоторых замечаний о -дивизорах. Для всякого -дивизора с существует такой дробный идеал а кольца что в том

и только том случае, когда

для всех простых идеалов Это немедленно вытекает из определений. Таким образом, множество состоит из тех элементов идеала а, которые удовлетворяют некоторым неравенствам относительно архимедовых нормирований. Мы будем говорить, что идеал а связан с дивизором с.

Для всякого элемента имеем Следовательно, при вычислении дивизор с можно умножить на любой элемент группы

Мы уже знаем, что группа классов идеалов кольца конечна. Пусть — идеалы, представляющие элементы этой группы. Умножая с на подходящий элемент из мы можем считать, что дробный идеал а, связанный с с, равен одному из идеалов а.

Пусть с — некоторый -дивизор, а — связанный с ним дробный идеал. Тогда

где мы пишем вместо для упрощения обозначений.

Лемма 1. Пусть связанный с дробный идеал равен одному из элементов фиксированной системы представителей Тогда существует такая единица и кольца что для всех имеем

где положительные константы, зависящие только от

Доказательство. Пусть для всех Тогда

Рассмотрим вектор

Так как векторы, соответствующие единицам, образуют решетку максимальной размерности в гиперплоскости, состоящей из векторов с нулевой суммой координат, то существует такая единица и, что

где некоторая константа, а абсолютное значение вектора — его евклидова длина. Отсюда следует, что вектор ограниченной длины. Иначе говоря, существуют такие константы что

для всех Мы получаем утверждение леммы, подставляя сюда значение

Рассмотрим евклидово пространство которое мы. отождествим с

потому что это — произведение вещественных прямых и комплексных плоскостей и Каждый идеал кольца представлен решеткой ранга в этом пространстве, если вложить в него кольцо диагонально. Неравенства, наложенные -дивизором в нормированиях определяют некоторую область в этом евклидовом пространстве. Наша задача тем самым сводится к следующей.

Дана решетка ранга в -мерном евклидовом пространстве. Доказать, что при некоторых условиях число точек такой решетки в параллелотопе приближенно равно объему параллелотопа. Этим мы и займемся.

Пусть линейно независимые векторы пространства Порожденная ими абелева группа является решеткой. По определению, фундаментальной областью решетки называется любое (измеримое) множество, обладающее тем свойством, что всякий вектор пространства сравним ровно с одним вектором этого множества по модулю решетки. Мы в качестве фундаментальной области всегда будем выбирать множество точек вида

Пусть с есть -дивизор. Символом обозначим множество векторов пространства

удовлетворяющих неравенствам

Это множество называется параллелотопом, соответствующим дивизору с (на бесконечности).

Обозначим символом количество таких элементов х решетки что где сдвиг области на х. Символом обозначим число тех точек решетки для которых пересечение непусто.

Пусть число точек решетки в параллелотопе Очевидно, что

где означает объем в евклидовом пространстве.

Единственной точкой решетки, попадающей в является х. Поэтому

Докажем теперь одну теорему о решетках в пространстве .

Теорема 2. Пусть с пробегает множество таких -дивизоров, что для всех имеют место неравенства

с некоторыми фиксированными положительными константами Пусть — фиксированная решетка пространства Тогда для всех с условием имеем

где зависят только от

Доказательство. Достаточно проверить, что разность ограничена величиной порядка где

Если сдвиг фундаментальной области не содержится в но пересекается с то он пересекается с границей области (отрезок прямой между любой точкой в пересечении любой точкой в не содержащейся в содержится в в силу выпуклости и пересекается с границей Положим

где замкнутый отрезок или замкнутый круг радиуса в зависимости от того, является вещественным или. комплексным. Соответственно граница области состоит из двух точек или окружности и

Поэтому размерность границы равна Достаточно дать верхнюю оценку нужного нам вида для количества сдвигов пересекающихся с множеством

потому что граница состоит самое большее из кусков такого вида. Мы сделаем это, параметризуя границу с помощью отображения, частные производные которого удовлетворяют подходящим оценкам. Напомним, что для любого дифференцируемого отображения с производной и для всяких двух векторов имеет место неравенство

где — евклидова норма векторов, а максимум нормы производной от на отрезке между и (это теорема о среднем).

Определим параметризацию

отображающую -мерный куб с единичными ребрами на с помощью следующих формул. Для вещественного положим

Для комплексного пользуясь полярными координатами, положим

Каждая частная производная отображения ограничена величиной или Поэтому существует такая константа что

Граница области параметризована -мерными кубами Разбив каждое ребро куба на отрезков одинаковой длины, мы получим разложение куба на

маленьких кубиков диаметра Диаметр образа каждого из таких кубиков при отображении не превосходит величины

Число сдвигов пересекающихся с областью диаметра ограничено константой зависящей только от и от диаметра области Поэтому - образ любого кубика пересекается с не более чем сдвигами области на точки решетки. Так как всего имеется кубиков, то образ пересекается с не более чем сдвигами области Граница области состоит из не более чем кусков, каждый из которых параметризуется -мерным кубом. Отсюда следует наша теорема.

В следующей лемме вычислен объем фундаментальной области идеала а кольца рассматриваемого как

решетка в евклидовом пространстве

Лемма 2. Пусть — идеал кольца целых чисел поля фундаментальная область для а, рассматриваемого как решетка в Тогда

Доказательство. Пусть - это -базис идеала вещественные вложения поля и их сопряженные — комплексные вложения. Всякий элемент отображается на вектор вида

Пусть

где - вещественные координаты на комплексной плоскости С. Тем самым

Дискриминант идеала а как -модуля равен квадрату определителя

Заменив каждую пару сопряженных строк парой, состоящей из их суммы и разности, находим, что с точностью.

до знака этот определитель равен

В свою очередь последний определитель составлен из координат базиса решетки , разложенного по канонической ортонормированной системе образующих пространства Поэтому

что и требовалось доказать.

Покажем теперь, как из теоремы 2 получается теорема 1. Как мы уже убедились, можно считать, что для рассматриваемого дивизора выполнены условия теоремы 2 и что связанный с ним идеал принадлежит одному из конечного числа представителей всех классов идеалов. Для всякого -дивизора с имеем

откуда

что и доказывает теорему 1.