§ 5. Расширения Галуа

Предложение 11. Пусть А — кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К. Пусть конечное расширение Галуа поля К с группой Пусть -максимальный идеал кольца А, а простые идеалы целого замыкания кольца А в поле лежащие над Тогда существует автоморфизм для которого

Доказательство. Предположим, что при всех Тогда тдля любой пары элементов Следовательно, существует такой элемент что

(воспользоваться китайской теоремой об остатках). Норма

принадлежит кольцу поскольку оно целозамкнуто, и, значит, лежит в идеале при всех о так что при всех Это противоречит тому обстоятельству, что норма элемента х принадлежит пересечению

Локализуя, можно избавиться от предположения, что максимальный идеал; достаточно его простоты.

Следствие. Пусть А — кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К. Пусть конечное сепарабельное расширение поля К, а, В — целое замыкание кольца Пусть максимальный идеал в А. Тогда существует только конечное число простых идеалов кольца В, лежащих над

Доказательство. Пусть — наименьшее расширение Галуа поля К, содержащее Пусть — различные простые идеалы кольца В, лежащие над простые идеалы целого замыкания кольца А в поле лежащие над соответственно. Тогда . Тем самым наше утверждение достаточно проверить в случае, когда расширение Галуа поля К, а это немедленно вытекает из предложения 11.

Пусть кольцо А целозамкнуто в своем поле частных К, и пусть В — его целое замыкание в конечном расширении Галуа с группой Тогда для всех а Пусть — некоторый максимальный идеал кольца -максимальный идеал кольца В, лежащий над Обозначим символом подгруппу группы состоящую из тех автоморфизмов а, для которых Группа естественно, действует на поле классов вычетов и оставляет подполе инвариантным. Всякому элементу мы можем поставить в соответствие некоторый автоморфизм а поля над и отображение

индуцирует гомоморфизм группы в группу автоморфизмов поля над

Группа называется группой разложения идеала Ее инвариантное подполе мы будем обозначать символом и называть полем разложения идеала Пусть целое замыкание кольца А в поле и пусть Из предложения 11 следует, что единственный простой идеал кольца В, лежащий над

Пусть разложение группы на смежные классы по подгруппе Тогда простые идеалы в точности составляют семейство различных простых идеалов кольца В, лежащих над . В самом деле, для двух элементов имеем том и только том случае, когда т. е. когда Тем самым элементы принадлежат одному и тому же классу

Очевидно, группой разложения простого идеала является группа

Предложение 12. наименьшее подполе поля содержащее К и обладающее тем свойством, что единственный простой идеал кольца В, лежащий над простым идеалом кольца

Доказательство. Пусть поле, удовлетворяющее условию предложения, —группа Галуа поля над Положим По предложению 11, все простые идеалы кольца В, лежащие над сопряжены относительно . Поскольку такой идеал единствен, именно группа оставляет этот идеал инвариантным. Следовательно, Но мы уже проверили, что само поле обладает сформулированными свойствами.

Предложение 13. В прежних обозначениях имеем (изоморфизм определяется каноническим вложением

Доказательство. Пусть элемент группы не принадлежащий G. Тогда и Положим

Тогда Пусть произвольный элемент кольца

Тогда существует такой элемент у этого кольца, что

для всех автоморфизмов о группы не принадлежащих частности,

для всех а, не принадлежащих Из второго сравнения следует, что

для всех Норма элемента у из поля в К является произведением у и различных множителей Таким образом,

Но эта норма принадлежит полю К и даже кольцу А, так как она является произведением элементов, целых над А. Следовательно, последнее сравнение имеет место по модулю поскольку и х, и норма лежат в Это и есть утверждение, которое мы хотели доказать.

Для всякого элемента обозначим символом х его образ при гомоморфизме Тогда - тот автоморфизм поля для которого

Пусть многочлен с коэффициентами в кольце В. Обозначим через его естественный образ относительно описанного гомоморфизма. Именно если

то

Предложение 14. Пусть кольцо А целозамкнуто в своем поле частных К, и пусть В — его целое замыкание в конечном расширении Галуа этого поля с группой Пусть некоторый максимальный идеал кольца А,

максимальный идеал кольца В, лежащий над Тогда поле является нормальным расширением поля а отображение индуцирует некоторый гомоморфизм группы на группу Галуа поля над

Доказательсто. Положим Всякий элемент х факторкольца В является образом некоторого элемента Предположим, что х порождает некоторое сепарабельное подрасширение кольца В над А. Пусть неприводимый многочлен над полем К, корнем которого является х. Так как х цел над то коэффициенты принадлежат и все остальные корни целы над Тем самым многочлен разлагается в кольце В на линейные множители

Но тогда

где все принадлежат кольцу В, так что многочлен разлагается на линейные множители в кольце В. Так как из равенства следует равенство кольцо В нормально над А, и

Отсюда следует, что максимальное сепарабельное подрасширение кольца имеет конечную степень над которая ограничена степенью (воспользоваться теоремой о примитивном элементе).

Остается проверить, что отображение определяет некоторый эпиморфизм группы на группу Галуа кольца В над А. С этой целью воспользуемся приемом, сводящим нашу задачу к случаю, когда -единственный простой идеал кольца В, лежащий над Этот прием состоит в замене кольца В кольцом что можно сделать, так как соответствующее поле классов вычетов при этом не меняется в силу предложения 13. Следовательно, для доказательства эпиморфности можно

рассматривать в качестве основного поля. К этой ситуации мы и хотели свести задачу; будем считать, что

Пусть теперь - такой элемент, что его образ х порождает максимальное сепарабельное подрасширение кольца В над А. Пусть -неприводимый многочлен над К, корнем которого является х. Всякий автоморфизм кольца В переводит х в некоторый корень многочлена и определяется этим корнем. Положим и пусть любой корень многочлена Существует такой элемент что Следовательно, Тем самым автоморфизмы кольца В над А, индуцированные элементами группы транзитивно действуют на множестве корней многочлена Поэтому они индуцируют полную группу автоморфизмов поля классов вычетов, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть А — кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К. Пусть конечное расширение Галуа поля целое замыкание кольца А в поле некоторый максимальный идеал кольца А и у: канонический гомоморфизм. Пусть, наконец, два гомоморфизма кольца В в алгебраическое замыкание поля продолжающее гомоморфизм Тогда существует такой автоморфизм поля над К, что

Доказательство. Ядро отображений простые идеалы кольца В, которые сопряжены в силу предложения 11. Следовательно, в группе алуа существует такой элемент х, что отображения имеют одно и то же ядро. Поэтому, не теряя общности, можно считать, что уже ядра отображений совпадают и равны Это означает существование такого автоморфизма что В силу предложения 11 существует такой элемент что . Это доказывает требуемое.

Замечание. Во всех сформулированных утверждениях условие максимальности идеала можно заменить условием его простоты. Достаточно локализовать по

и все доказательства переносятся без изменений. Для приложений к числовым полям это несущественно, ибо все простые идеалы в этом случае максимальны.

Ядро рассмотренного выше отображения

называется группой инерции идеала Она состоит из тех элементов группы которые индуцируют тривиальный автоморфизм поля классов вычетов. Поле инвариантных элементов для этой подгруппы называется полем инерции и обозначается символом

Следствие 2. В условиях следствия 1 предположим еще, что — единственный простой идеал кольца В, лежащий над Пусть многочлен в кольце со старшим коэффициентом 1. Предположим, что неприводим в кольце и что один из его корней лежит в кольце В. Тогда редуцированный многочлен является степенью некоторого неприводимого многочлена в

Доказательство. По следствию 1, любые два корня многочлена сопряжены относительно некоторого автоморфизма кольца В над А, так что не может разлагаться на взаимно простые множители. Поэтому является степенью неприводимого многочлена.

Следствие 2 известно под названием леммы Гензеля. Позже мы применим его к полным полям.