§ 4. Неразветвленные расширения

Мы по-прежнему предполагаем, что К — полное дискретно нормированное поле частных кольца А с максимальным идеалом .

Пусть конечное расширение поля целое замыкание кольца А в поле . В кольце В есть единственный простой идеал лежащий над и В дискретно нормировано. Если индекс ветвления, а степень поля классов вычетов, имеем

(Здесь мы доказали это равенство только для сепарабельных расширений поля К. Поскольку нас

интересуют преимущественно числовые поля, доказательство в общем случае не приводится. Если угодно, читатель может полагать характеристику поля К равной 0.)

Таким образом, тогда и только тогда, когда

Если это равенство выполнено, а расширение поля сепарабельно, идеал называется не разветвленным над , а поле неразветвленным расширением поля К.

Пусть — канонический гомоморфизм, многочлен с коэффициентами в кольце В. Символом мы обозначаем многочлен полученный применением гомоморфизма к коэффициентам многочлена

Предложение 7. Пусть конечное расширение поля К, и пусть идеал неразветвлен над Пусть такой элемент, что и пусть элемент, для которого Тогда и образ К-неприводимого многочлена корнем которого является а, также неприводим. Обратно, пусть , где а — корень некоторого многочлена со старшим коэффициентом 1, образ которого не имеет кратных корней. Тогда идеал неразветвлен над и

Доказательство. Предположим сначала, что идеал неразветвлен. Пусть неприводимый многочлен над кольцом корнем которого является а. Пусть корень неприводимого над К многочлена Тогда а цел над является корнем многочлена так что делится на . С другой стороны,

так что Первое утверждение доказано.

Обратно, если элемент а удовлетворяет сформулированному условию, то, не теряя общности, можно считать, что для соответствующего неприводимого многочлена его образ не имеет кратных корней. Применяя

к наименьшему расширению Галуа поля К, содержащему следствие 2 предложения 14 гл. I, § 5, заключаем, что является степенью неприводимого многочлена, а потому неприводим. Из неравенств

тогда следует, что в действительности всюду стоят знаки равенства и что

Предложение доказано..

Предложение 8. Пусть конечное расширение поля К.

(I) Пусть поле неразветвлено над том и только том случае, когда неразветвлено над неразветвлено над

(II) Пусть неразветвлено над К, а — конечное расширение поля К. Тогда поле неразветвлено над

(III) Пусть конечные не разветвленные расширения поля К. Тогда поле также неразветвлено.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из того, что степени полей классов вычетов ограничены степенями полей и мультипликативны при расширениях. Кроме того, следует воспользоваться тем, что утверждение (I) справедливо, если заменить условие неразветвленности условием сепарабельности конечных расширений. Второе утверждение немедленно следует из предложения 7. Третье формально вытекает из первого и второго.

Предложение 9. Для всякого конечного расширения поля К в данном алгебраическом замыкании К этого поля обозначим символом целое замыкание кольца Пусть А — целое замыкание кольца А в поле К. Пусть гомоморфизм кольца А, пересечение ядра которого с каждым из колец является максимальным идеалом этого кольца. Тогда отображение

индуцирует взаимно однозначное соответствие между неразветвленными расширениями поля К и сепарабельными расширениями поля

Доказательство. Упражнение для читателя.

Если предположить, что поле конечно, как это имеет место в теории чисел, то все алгебраические расширения этого поля сепарабельны и даже цикличны. Группа Галуа порождена каноническим автоморфизмом Фробениуса а, для которого

где число элементов поля классов вычетов Поэтому всякое конечное неразветвленное расширение поля К циклично, и в его группе Галуа имеется однозначно определенный автоморфизм, индуцирующий . В самом деле, согласно предложению 14 гл. I § 5, группа Галуа неразветвленного расширения совпадает с потому что существует единственный простой дивизор лежащий над а группа изоморфна группе расширения поля классов вычетов.