§ 3. Простые идеалы

Пусть — простой идеал кольца Для всякого кольца В, содержащего символом обозначим кольцо

Пусть кольцо В содержит некоторый простой идеал в простой идеал в В. Будем говорить,

что лежит над если . В этом случае вложение

индуцирует вложение факторколец

и имеет место коммутативная диаграмма

в которой горизонтальные стрелки означают канонические гомоморфизмы, а вертикальные вложения.

Если кольцо В цело над А, то цело над (предложение 4).

Лемма Накаяма. Пусть А — кольцо, — идеал, содержащийся во всех максимальных идеалах кольца А, —конечно порожденный -модуль. Если то

Доказательство. Проведем индукцию по числу образующих модуля Пусть некоторая система образующих. Существует выражение вида

где Следовательно,

Если бы элемент не был обратим в А, он содержался бы в некотором максимальном идеале Так как, по предположению, мы имели бы противоречие. Следовательно, обратим. Деля на него, получаем, что порожден уже элементами, что и завершает доказательство.

Предложение 9. Пусть А — кольцо, простой идеал, В — кольцо, содержащее А и целое над А. Тогда и существует простой идеал лежащий над

Доказательство. Мы знаем, что цело над и что представляет собой локальное кольцо с максимальным идеалом Очевидно, что

поэтому достаточно проверить наше первое утверждение в случае, когда А — локальное кольцо. Если бы идеал совпадал с В, имело бы место представление вида

где Положим Тогда и кольцо в силу предложения 2 является конечно порожденным -модулем. Следовательно, что невозможно.

Для доказательства второго утверждения вернемся к первоначальным обозначениям и рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

в которой все стрелки означают вложения. Мы только что установили, что Следовательно, идеал содержится в некотором максимальном идеале кольца и, значит, пересечение содержит Поскольку максимален, то

Положим Тогда -простой идеал кольца В.

Рассматривая его пересечение с кольцом и двигаясь двумя путями по коммутативной диаграмме, убеждаемся, что таким образом,

что и следовало доказать.

Замечание. Пусть кольцо В цело над ненулевой идеал. Тогда — ненулевой идеал.

Для доказательства этого рассмотрим ненулевой элемент Этот элемент удовлетворяет уравнению

где Но элемент принадлежит пересечению

Предложение 10. Пусть А — подкольцо кольца В, и пусть В цело над А. Пусть простой идеал кольца В, лежащий над простым идеалом кольца А. Он максимален в том и только том случае, когда максимален.

Доказательство. Пусть максимален. Тогда -поле. Тем самым достаточно показать, что кольцо, целое над полем, является полем. Из элементарной теории полей хорошо известно, что если х цел над то кольцо является полем и, следовательно, х обратим в этом кольце. Обратно, пусть идеал максимален в В. Тогда факторкольцо является полем, которое цело над кольцом Если бы не было полем, то в этом кольце имелся бы ненулевой максимальный идеал По предложению 9, существовал бы максимальный идеал кольца лежащий над что приводит к противоречию.