Глава IV. КРУГОВЫЕ ПОЛЯ

Эта глава служит одновременно двум целям. Она доставляет примеры к общей теории и, кроме того, более подробно описывает поля деления круга, от которых в значительной мере зависит теория алгебраических чисел в целом. Трудно указать точные границы этой зависимости; известно, однако, что, скажем, центральная часть доказательств в теории полей классов относится к круговым полям. Хотя мы не излагаем здесь теорию полей классов, мы приводим лемму Артина, которую он использовал в своем первоначальном доказательстве закона взаимности. Эта лемма представляет собой хорошую иллюстрацию некоторых общих принципов в теории числовых полей. Я воспроизвожу доказательство этой леммы, данное Артином около десяти лет назад на семинаре в Принстонском университете.

§ 1. Корни из единицы

Пусть — корень степени из единицы: сота Расширение нормально над . В самом деле, пусть — примитивный корень (т. е. его период равен в точности ), - любой изоморфизм поля над Тогда так что — также корень степени из единицы. Следовательно, для некоторого целого числа которое определено однозначно Поэтому поле отображается в себя при применении значит, является нормальным над Для любого другого изоморфизма х поля над имеем Так как — изоморфизмы, то числа взаимно просты с Тем самым отображение

является гомоморфизмом группы Галуа поля над в мультипликативную группу классов вычетов взаимно простых с и этот гомоморфизм мономорфен. Порядок этой мультипликативной группы равен где функция Эйлера. Ниже мы убедимся, что Отсюда будет следовать, что группа Галуа-расширения определена изоморфизмом

Пусть К — любое числовое поле. Группа Галуа поля над К является подгруппой группы поэтому она абелева.

Пусть К—любое числовое поле; фиксируем его алгебраическое замыкание К. Круговым расширением поля К называется всякое расширение, содержащееся в одном из полей где — корень из единицы для некоторого Поскольку поле абелево над К, всякое круговое расширение поля К абелево. Поле К называется круговым, если оно является круговым расширением поля

Рассмотрим случай

Пусть простое число, — примитивный корень степени из единицы. Тогда — корень многочлена

Следовательно, Мы утверждаем, что

Действительно, пусть Число цело над Для любого целого числа взаимно простого с тоже примитивный корень степени из единицы, и

— целое алгебраическое число. Но для некоторого целого числа так что это отношение является единицей в кольце целых чисел поля К.

Пусть простой идеал кольца лежащий над и

Тогда все корни это - корни многочлена так что

Поэтому

Для любых взаимно простых с как мы уже убедились, отношение

является единицей кольца Все элементы имеют одну и ту же -адическую норму так что

Отсюда следует, что индекс ветвления идеала не меньше, чем . В силу предложения 20 гл. I, § 7, получаем

Кроме того, единственный простой идеал кольца лежащий над и он вполне разветвлен. Так как удовлетворяет также уравнению любое простое число, отличное от неразветвлено в поле потому что производная делится только на

Рассмотрим теперь случай степени простого числа: -целое число. Положим и рассмотрим разложение

Положим

Степень многочлена равна Пусть — примитивный корень степени из единицы; является примитивным корнем степени из единицы в том и только том случае, когда взаимно просто с

Таким образом, существует примитивных корней степени из единицы. Поэтому

где первое произведение берется по. всем примитивным корням степени из единицы, а второе — по всем различным классам вычетов не кратным

Так же, как для корней степени, проверяется, что отношение

является единицей, если числа взаимно просты с Пусть Тогда из тождества

вытекает, что

для любого нормирования, продолжающего -адическое нормирование поля так что идеал вполне разветвлен. Поэтому имеет место

Теорема 1. Пусть — примитивный корень степени из единицы, Тогда Над лежит единственный простой идеал кольца и он вполне разветвлен. Все остальные простые идеалы кольца не разветвлены.

Этот результат можно обобщить следующим образом.

Теорема 2. Пусть положительное целое число, — примитивный корень степени из единицы. Тогда . В поле ветвятся только те простые числа которые делят Пусть

— разложение в произведение степеней простых чисел, примитивный корень степени из единицы. Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда — корень уравнения делится

на простые числа, делящие Поэтому любое другое простое число неразветвлено в поле . Для всякого поле абелево над , а его пересечение с равно потому что вполне разветвлено в поле и не разветвлено в другом поле. Поэтому степень расширения поля равна Это доказывает теорему.

Пусть группа Галуа поля над Тогда любой автоморфизм а этого поля отображает со на некоторый примитивный корень взаимно просто с Так как то для любого такого существует с условием Таким образом, группа изоморфна мультипликативной группе классов вычетов кольца взаимно простых с Заметим еще, что для любых двух положительных взаимно простых целых чисел и соответствующих примитивных корней из единицы имеем

Теорема 3. Пусть — примитивный корень степени из единицы, Тогда Дискриминант поля К равен

где знак минус относится к случаям или плюс — к остальным случаям.

Доказательство. Ограничимся случаем принцип доказательства в общем случае тот же. Итак, — корень степени из единицы; пусть Для доказательства того, что достаточно проверить, что дискриминанты колец совпадают как -идеалы (предложение 10 гл. III, § 3). А это достаточно проверить локально для каждого простого числа. Все простые числа, кроме не разветвлены и потому не вносят вклада в дискриминант ни одного из колец

В. Число вполне разветвлено; пользуясь предложением 23 гл. I, § 7, заключаем, что где дополнение к идеалу кольца Следовательно, -компоненты дискриминантов в обоих случаях одинаковы. Поэтому Утверждение о точном значении дискриминанта получается прямым вычислением

дискриминанта элемента с учетом знака. Это не составляет трудности (воспользоваться предложением 15 гл. III, § 3).

Для работы с произвольным составным целым числом нам понадобится один общий результат.

Теорема 4. Пусть — два числовых поля. Предположим, что они линейно разделены (это означает, что для любого базиса поля К над и любого базиса поля над система составляет базис поля над и что их дискриминанты взаимно просты. Тогда

и

Доказательство. Из основных свойств дифференты следует, что дифферента равна

Но дифференты взаимно просты (как идеалы кольца То же верно для других двух множителей. Следовательно,

Пусть базис кольца над базис кольца над Из приведенного замечания следует, что дополнительный к базис который порождает идеал порождает, также идеал Это модуль, дополнительный к над

Беря снова дополнительный модуль, получаем, что порождает кольцо над Это доказывает утверждение о кольцах целых чисел. Утверждение о дискриминантах мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Следствие. Пусть положительное целое число, — примитивный корень степени из единицы. Тогда целое замыкание кольца в поле

Доказательство. Очевидно, композит колец целых чисел круговых полей, степени которых являются степенями простых чисел, делящих удовлетворяет условиям теоремы 4.