Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава IV. КРУГОВЫЕ ПОЛЯЭта глава служит одновременно двум целям. Она доставляет примеры к общей теории и, кроме того, более подробно описывает поля деления круга, от которых в значительной мере зависит теория алгебраических чисел в целом. Трудно указать точные границы этой зависимости; известно, однако, что, скажем, центральная часть доказательств в теории полей классов относится к круговым полям. Хотя мы не излагаем здесь теорию полей классов, мы приводим лемму Артина, которую он использовал в своем первоначальном доказательстве закона взаимности. Эта лемма представляет собой хорошую иллюстрацию некоторых общих принципов в теории числовых полей. Я воспроизвожу доказательство этой леммы, данное Артином около десяти лет назад на семинаре в Принстонском университете. § 1. Корни из единицыПусть
является гомоморфизмом группы Галуа Пусть К — любое числовое поле. Группа Галуа поля Пусть К—любое числовое поле; фиксируем его алгебраическое замыкание К. Круговым расширением поля К называется всякое расширение, содержащееся в одном из полей Рассмотрим случай Пусть
Следовательно,
Действительно, пусть
— целое алгебраическое число. Но Пусть
Тогда
Поэтому
Для любых
является единицей кольца
Отсюда следует, что индекс ветвления идеала
Кроме того, Рассмотрим теперь случай степени простого числа:
Положим
Степень многочлена Таким образом, существует
где первое произведение берется по. всем примитивным корням Так же, как для корней
является единицей, если числа
вытекает, что
для любого нормирования, продолжающего Теорема 1. Пусть Этот результат можно обобщить следующим образом. Теорема 2. Пусть
— разложение
Доказательство. Пусть на простые числа, делящие Пусть Теорема 3. Пусть
где знак минус относится к случаям Доказательство. Ограничимся случаем В. Число дискриминанта элемента Для работы с произвольным составным целым числом Теорема 4. Пусть
и
Доказательство. Из основных свойств дифференты следует, что дифферента
Но дифференты
Пусть Беря снова дополнительный модуль, получаем, что Следствие. Пусть Доказательство. Очевидно, композит колец целых чисел круговых полей, степени которых являются степенями простых чисел, делящих
|
1 |
Оглавление
|