§ 2. Дифферента и ветвление

В этом параграфе А — дедекиндово кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля — целое замыкание кольца А в поле Мы примем, кроме того, что для всякого простого идеала поле классов вычетов совершенно.

Предложение 8. Пусть простой идеал кольца В, лежащий над его индекс ветвления. Тогда идеал делит дефференту Если идеал сильно разветвлен, то идеал делит дифференту Если идеал не разветвлен, то не делит Существует только конечное число разветвленных простых идеалов. Наконец, дифферента является наибольшим общим делителем всех идеалов где а — целая образующая поля над К, а соответствующий неприводимый многочлен над К, корнем которого является а.

Доказательство. Так как инварианты ветвления и дифференты хорошо ведут себя при локализации и пополнении, то первые утверждения можно доказывать, считая, что К — полное поле.

Имея дело с полным полем, можно применить предложение 3, § 1, следствие из предложения 2 и предложение 23 гл. I, § 7. Если идеал неразветвлен, это дает Пользуясь предложением 5, § 1 (мультипликативность относительно башни), мы можем считать также, что идеал вполне разветвлен. В этом случае где — некоторый элемент порядка 1 относительно удовлетворяющий уравнению Эйзенштейна

в котором а имеет порядок 1. относительно

Тогда

и последнее утверждение вытекает из определений.

Вернемся теперь к глобальному случаю. Пусть а — целая образующая поля над соответствующий неприводимый многочлен над К? Элемент делится только на конечное число простых идеалов и из предложения 7 гл. II, § 4, следует, что только эти простые делители могут ветвиться (мы можем рассматривать а как образующую пополнения над Так как отсюда следует, что делит Остается доказать, что дифферента совпадает с наибольшим общим делителем всех таких идеалов. Точнее, для всякого простого идеала существует такой элемент а, для которого

Доказательство представляет собой упражнение в технике применения теоремы о приближениях.

Все получилось бы сразу, если бы мы могли положить для некоторого а. Это можно сделать только локально. Поэтому мы воспользуемся теоремой о приближениях для сведения задачи к локальной.

Пусть Пусть пробегает все различные автоморфизмы поля в алгебраическое замыкание поля Пусть один из таких изоморфизмов, индуцирующий на нормирование Для всякой

образующей а поля над К, являющейся корнем неприводимого над К многочлена имеем

Будем писать если сопряжены над т. е. если существует такой изоморфизм X поля над что на

Согласно предложению 3, § 1, существует такой элемент что Заметим, что всякий элемент кольца достаточно близкий к также порождает над

Пусть к пробегает все изоморфизмы поля над Существует такой элемент что

для всех Действительно, классы вычетов всех сопряженных элементов сопряжены над Если эти классы вычетов все равны 0, то можно взять иначе

Пусть представители классов эквивалентности вложений поля в . В силу теоремы о приближениях можно найти такой элемент а для которого

Не теряя общности, можно считать, кроме того, что элемент а цел над А и что (Если это не так, сначала умножим а на элемент кольца А, который и делится на большие степени других простых идеалов, чтобы сделать а целым, а затем прибавим , где у — любая целая образующая, достаточно большое целое число. Элемент будет образующей.)

Так как элемент близок к имеем следовательно, его доля в -компоненте дифференты имеет вид

Мы должны установить, что остальные множители не дают вклада в -компоненту.

Пусть а не сопряжен с над Положим Тогда

Но число очень мало, а очень близко к Так как то и Следовательно, ста Отсюда вытекает последнее утверждение.