§ 4. Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках. Пусть А — кольцо, такие идеалы, что при всех Для любого семейства элементов кольца А существует такой элемент что а при всех

Доказательство. Проведем индукцию по При имеем

где так что достаточно положить

Пусть теорема доказана для семейства из идеала. Для всякого найдутся такие элементы что

Произведение равно 1 и лежит в идеале так что . В силу справедливости теоремы при найдется такой элемент что

Аналогично, найдутся такие элементы что

Линейная комбинация хпуп тогда удовлетворяет нашим требованиям.

Еще одно замечание в том же духе: для любого семейства идеалов кольца А со свойством

и для любого семейства положительных целых чисел имеем

Доказательство тривиально; мы оставляем его в качестве упражнения.