§ 3. Тауберова теорема для рядов Дирихле

Пусть — ряд Дирихле с вещественными неотрицательными коэффициентами который сходится при и регулярен на прямой за исключением точки где он имеет полюс первого порядка с вычетом 1.

В интегральном представлении этого ряда является ступенчатой функцией, которая в нуле равна 0, а в точках скачком увеличивается на Тем самым

Обозначая символом функцию имеем или . Функция удовлетворяет условиям тауберовой теоремы при всех , и, следовательно,

Мы покажем, как формальным приемом можно обобщить это утверждение на более широкий класс рядов Дирихле.

Теорема 1. Пусть функция, определенная выше, ряд Дирихле с комплексными коэффициентами удовлетворяющими неравенству для некоторой константы С. Предположим, что ряд сходится при и регулярен на прямой возможно за исключением полюса первого порядка с вычетом а в точке Положим Тогда

Доказательство. Естественно, мы полагаем если в точке нет полюса.

Пусть коэффициенты вещественны. Тогда функция для достаточно больших С удовлетворяет тем же условиям, что Отсюда наше утверждение получается немедленно.

Если коэффициенты комплексны, положим

так что и заметим, что

Очевидно, отсюда следует наше утверждение для

Для теоремы о распределении простых идеалов нам нужно знать асимптотическое поведение другой суммы. Сформулируем требуемый результат отдельно.

Предложение 1. Пусть - такая последовательность комплексных чисел, что

для некоторого комплексного числа а. Тогда

Доказательство. Полагая имеем при Следовательно,

Поэтому достаточно показать, что последняя сумма имеет порядок

Функция оценивается сверху величиной кроме того,

Следовательно, достаточно проверить, что

Разобьем эту сумму на две, по по Это даст оценку

которая, очевидно, есть Доказательство закончено.