Пусть
компактная коммутативная группа. Пусть
объединение конечных подмножеств
Рассмотрим некоторое отображение
Мы будем говорить, что множество
-равномерно распределено в группе
если для всякого характера
этой группы
Напомним, что
если
и если
Мы примем без доказательства, что всякая непрерывная функция на компактной группе допускает равномерное приближение линейными комбинациями характеров с комплексными коэффициентами.
Назовем вещественную функцию
на
допустимой, если существуют такие последовательности вещественных непрерывных функций
что
сходятся к
соответственно монотонно возрастая и убывая, и, кроме того,
при
Комплексная функция называется допустимой, если ее вещественная и мнимая части допустимы.
Если множество
- равномерно распределено в группе
любая допустимая функция на
то
Это немедленно следует из рассмотрения равномерных приближений функции
линейными комбинациями характеров. На практике в качестве
берется характеристическая функция подходящих подмножеств группы
Если, например,
конечна, рассмотрим характеристическую функцию
одного элемента; тогда
Все интересующие нас теоремы о равномерном распределении вытекают из следующего результата.
Теорема 5. Пусть
нормализованный характер Гекке,
конечное множество простых идеалов, содержащее все идеалы, где х разветвлен. Тогда
Доказательство. Результат получается немедленно. В самом деле, мы знаем, что
-ряд голоморфен в точке 1 и не обращается в ней в нуль. Следовательно, вычеты
-ряда и его производной равны нулю и наше утверждение следует из теоремы 1 и предложения 1 соответственно.
Пусть
группа иделей поля
Пусть
— конечное множество нормирований, содержащее архимедовы нормирования, — подгруппа группы
состоящая из иделей, компоненты которых являются единицами вне
Не следует смешивать эту подгруппу с подгруппой
элементы которой имеют компонентами единицы вне
и что угодно
. По непрерывности, всякий характер группы классов иделей становится тривиальным на одной из подгрупп
кроме того, он тривиален на мультипликативной группе
поля
вложенной в
Пусть
компактная группа,
непрерывный гомоморфизм. Тогда для любого характера х группы
функция
является характером группы классов иделей, т. е. характером Гекке. Множество
простых идеалов, не принадлежащих
можно следующим образом погрузить в
Пусть
— элемент первого порядка относительно идеала
Этому элементу соответствует идель, у которого
-компонента равна
, а остальные — 1. Класс
по модулю
не зависит от выбора простого элемента; отображение, ставящее в соответствие идеалу
этот класс, определяет интересующее
нас вложение
можем также поставить в соответствие идеалу
идель
Это и будет сделано в последующих примерах, чтобы не расходиться с классическим описанием для архимедовых нормирований.)
Гомоморфизм X индуцирует некоторое отображение
и из предыдущей теоремы следует, что множество
Я-равномерно распределено в группе
Подведем итоги этого обсуждения.
Теорема 6. Пусть
множество простых идеалов,
отображение, которое определяется так. Для каждого идеала
выберем простой элемент
и обозначим символом
идель, все компоненты которого, кроме
равны 1, а
равна
Множество
представим как объединение подмножеств
состоящих из тех
для которых
Пусть
компактная коммутативная группа,
непрерывный эпиморфизм, ядро которого содержит
но не содержит
Тогда множество
-равномерно распределено в группе
Можно, например, положить
(это — конечная группа), а в качестве X взять канонический гомоморфизм. Это даст равномерное распределение простых идеалов в
-классах идеалов. Оставляем читателю в качестве упражнения вывод равномерного распределения простых идеалов в обычных арифметических прогрессиях (теорема Дирихле).
Рассмотрим, наконец, гауссово поле
Пусть
состоит из архимедова нормирования. Имеем
где
мультипликативная группа комплексных чисел. Идеалы можно рассматривать как точки первого квадранта гауссовой плоскости. Беря в качестве X радиальную проекцию на единичную окружность, получим равномерное распределение идеалов и простых идеалов в секторах.