§ 5. Плотности

Пусть характер Гекке, т. е. характер группы классов иделей поля Если он неразветвлен в конечном простом идеале т. е. обращается в нуль на группе локальных единиц то представляет собой функцию только от и мы можем ввести функцию

где произведение распространено на все в которых характер неразветвлен. Из результатов гл. VII следует, что такой -ряд удовлетворяет условиям, сформулированным в предыдущем параграфе, и условиям применимости тауберовой теоремы.

Пусть символом обозначим множество простых идеалов с условием а символом множество целых идеалов с условием Для всякого конечного множества простых иделов обозначим символом множество тех целых идеалов , которые взаимно просты с и для которых аналогичный смысл имеет

В качестве частного случая тауберовой теоремы получаем:

Теорема 4. Пусть а — вычет дзета-функции в точке 1. Пусть число элементов множеств соответственно. Имеют место следующие асимптотические формулы.

где

В самом деле, вычет в точке 1 функции, которая получается из опусканием множителей, относящихся к элементам равен Отсюда следует первое утверждение. Для доказательства второго применим тауберову теорему к логарифмической производной дзета-функции

Разобьем эту сумму, как обычно, на две: одну по всем другую — по Вторая сумма не вносит вклада в вычет в точке 1, а первая сумма

представляет собой ряд Дирихле где если не является степенью простого числа. Для каждого целого числа обозначим символом число идеалов для которых Тогда Вычет логарифмической производной функции в точке равен 1. В силу теоремы 1 получаем

Для завершения доказательства остается применить предложение 1.

Займемся теперь вопросом о равномерности распределения простых идеалов.

Пусть компактная коммутативная группа. Пусть объединение конечных подмножеств Рассмотрим некоторое отображение Мы будем говорить, что множество -равномерно распределено в группе если для всякого характера этой группы

Напомним, что если и если

Мы примем без доказательства, что всякая непрерывная функция на компактной группе допускает равномерное приближение линейными комбинациями характеров с комплексными коэффициентами.

Назовем вещественную функцию на допустимой, если существуют такие последовательности вещественных непрерывных функций что

сходятся к соответственно монотонно возрастая и убывая, и, кроме того,

при

Комплексная функция называется допустимой, если ее вещественная и мнимая части допустимы.

Если множество - равномерно распределено в группе любая допустимая функция на то

Это немедленно следует из рассмотрения равномерных приближений функции линейными комбинациями характеров. На практике в качестве берется характеристическая функция подходящих подмножеств группы Если, например, конечна, рассмотрим характеристическую функцию одного элемента; тогда

Все интересующие нас теоремы о равномерном распределении вытекают из следующего результата.

Теорема 5. Пусть нормализованный характер Гекке, конечное множество простых идеалов, содержащее все идеалы, где х разветвлен. Тогда

Доказательство. Результат получается немедленно. В самом деле, мы знаем, что -ряд голоморфен в точке 1 и не обращается в ней в нуль. Следовательно, вычеты -ряда и его производной равны нулю и наше утверждение следует из теоремы 1 и предложения 1 соответственно.

Пусть группа иделей поля Пусть — конечное множество нормирований, содержащее архимедовы нормирования, — подгруппа группы состоящая из иделей, компоненты которых являются единицами вне Не следует смешивать эту подгруппу с подгруппой элементы которой имеют компонентами единицы вне и что угодно . По непрерывности, всякий характер группы классов иделей становится тривиальным на одной из подгрупп кроме того, он тривиален на мультипликативной группе поля вложенной в Пусть компактная группа, непрерывный гомоморфизм. Тогда для любого характера х группы функция является характером группы классов иделей, т. е. характером Гекке. Множество простых идеалов, не принадлежащих можно следующим образом погрузить в Пусть — элемент первого порядка относительно идеала Этому элементу соответствует идель, у которого -компонента равна , а остальные — 1. Класс по модулю не зависит от выбора простого элемента; отображение, ставящее в соответствие идеалу этот класс, определяет интересующее

нас вложение можем также поставить в соответствие идеалу идель Это и будет сделано в последующих примерах, чтобы не расходиться с классическим описанием для архимедовых нормирований.)

Гомоморфизм X индуцирует некоторое отображение и из предыдущей теоремы следует, что множество Я-равномерно распределено в группе

Подведем итоги этого обсуждения.

Теорема 6. Пусть множество простых идеалов, отображение, которое определяется так. Для каждого идеала выберем простой элемент и обозначим символом идель, все компоненты которого, кроме равны 1, а равна Множество представим как объединение подмножеств состоящих из тех для которых Пусть компактная коммутативная группа, непрерывный эпиморфизм, ядро которого содержит но не содержит Тогда множество -равномерно распределено в группе

Можно, например, положить (это — конечная группа), а в качестве X взять канонический гомоморфизм. Это даст равномерное распределение простых идеалов в -классах идеалов. Оставляем читателю в качестве упражнения вывод равномерного распределения простых идеалов в обычных арифметических прогрессиях (теорема Дирихле).

Рассмотрим, наконец, гауссово поле Пусть состоит из архимедова нормирования. Имеем

где мультипликативная группа комплексных чисел. Идеалы можно рассматривать как точки первого квадранта гауссовой плоскости. Беря в качестве X радиальную проекцию на единичную окружность, получим равномерное распределение идеалов и простых идеалов в секторах.