Главная > Алгебраические числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Плотности

Пусть характер Гекке, т. е. характер группы классов иделей поля Если он неразветвлен в конечном простом идеале т. е. обращается в нуль на группе локальных единиц то представляет собой функцию только от и мы можем ввести функцию

где произведение распространено на все в которых характер неразветвлен. Из результатов гл. VII следует, что такой -ряд удовлетворяет условиям, сформулированным в предыдущем параграфе, и условиям применимости тауберовой теоремы.

Пусть символом обозначим множество простых идеалов с условием а символом множество целых идеалов с условием Для всякого конечного множества простых иделов обозначим символом множество тех целых идеалов , которые взаимно просты с и для которых аналогичный смысл имеет

В качестве частного случая тауберовой теоремы получаем:

Теорема 4. Пусть а — вычет дзета-функции в точке 1. Пусть число элементов множеств соответственно. Имеют место следующие асимптотические формулы.

где

В самом деле, вычет в точке 1 функции, которая получается из опусканием множителей, относящихся к элементам равен Отсюда следует первое утверждение. Для доказательства второго применим тауберову теорему к логарифмической производной дзета-функции

Разобьем эту сумму, как обычно, на две: одну по всем другую — по Вторая сумма не вносит вклада в вычет в точке 1, а первая сумма

представляет собой ряд Дирихле где если не является степенью простого числа. Для каждого целого числа обозначим символом число идеалов для которых Тогда Вычет логарифмической производной функции в точке равен 1. В силу теоремы 1 получаем

Для завершения доказательства остается применить предложение 1.

Займемся теперь вопросом о равномерности распределения простых идеалов.

Пусть компактная коммутативная группа. Пусть объединение конечных подмножеств Рассмотрим некоторое отображение Мы будем говорить, что множество -равномерно распределено в группе если для всякого характера этой группы

Напомним, что если и если

Мы примем без доказательства, что всякая непрерывная функция на компактной группе допускает равномерное приближение линейными комбинациями характеров с комплексными коэффициентами.

Назовем вещественную функцию на допустимой, если существуют такие последовательности вещественных непрерывных функций что

сходятся к соответственно монотонно возрастая и убывая, и, кроме того,

при

Комплексная функция называется допустимой, если ее вещественная и мнимая части допустимы.

Если множество - равномерно распределено в группе любая допустимая функция на то

Это немедленно следует из рассмотрения равномерных приближений функции линейными комбинациями характеров. На практике в качестве берется характеристическая функция подходящих подмножеств группы Если, например, конечна, рассмотрим характеристическую функцию одного элемента; тогда

Все интересующие нас теоремы о равномерном распределении вытекают из следующего результата.

Теорема 5. Пусть нормализованный характер Гекке, конечное множество простых идеалов, содержащее все идеалы, где х разветвлен. Тогда

Доказательство. Результат получается немедленно. В самом деле, мы знаем, что -ряд голоморфен в точке 1 и не обращается в ней в нуль. Следовательно, вычеты -ряда и его производной равны нулю и наше утверждение следует из теоремы 1 и предложения 1 соответственно.

Пусть группа иделей поля Пусть — конечное множество нормирований, содержащее архимедовы нормирования, — подгруппа группы состоящая из иделей, компоненты которых являются единицами вне Не следует смешивать эту подгруппу с подгруппой элементы которой имеют компонентами единицы вне и что угодно . По непрерывности, всякий характер группы классов иделей становится тривиальным на одной из подгрупп кроме того, он тривиален на мультипликативной группе поля вложенной в Пусть компактная группа, непрерывный гомоморфизм. Тогда для любого характера х группы функция является характером группы классов иделей, т. е. характером Гекке. Множество простых идеалов, не принадлежащих можно следующим образом погрузить в Пусть — элемент первого порядка относительно идеала Этому элементу соответствует идель, у которого -компонента равна , а остальные — 1. Класс по модулю не зависит от выбора простого элемента; отображение, ставящее в соответствие идеалу этот класс, определяет интересующее

нас вложение можем также поставить в соответствие идеалу идель Это и будет сделано в последующих примерах, чтобы не расходиться с классическим описанием для архимедовых нормирований.)

Гомоморфизм X индуцирует некоторое отображение и из предыдущей теоремы следует, что множество Я-равномерно распределено в группе

Подведем итоги этого обсуждения.

Теорема 6. Пусть множество простых идеалов, отображение, которое определяется так. Для каждого идеала выберем простой элемент и обозначим символом идель, все компоненты которого, кроме равны 1, а равна Множество представим как объединение подмножеств состоящих из тех для которых Пусть компактная коммутативная группа, непрерывный эпиморфизм, ядро которого содержит но не содержит Тогда множество -равномерно распределено в группе

Можно, например, положить (это — конечная группа), а в качестве X взять канонический гомоморфизм. Это даст равномерное распределение простых идеалов в -классах идеалов. Оставляем читателю в качестве упражнения вывод равномерного распределения простых идеалов в обычных арифметических прогрессиях (теорема Дирихле).

Рассмотрим, наконец, гауссово поле Пусть состоит из архимедова нормирования. Имеем

где мультипликативная группа комплексных чисел. Идеалы можно рассматривать как точки первого квадранта гауссовой плоскости. Беря в качестве X радиальную проекцию на единичную окружность, получим равномерное распределение идеалов и простых идеалов в секторах.

1
Оглавление
email@scask.ru