Приложение — лемма Брауэра

В этом приложении мы докажем лемму о групповых характерах, которая неоднократно использовалась в этой главе. Нижеследующим изложением я обязан Серру (оно является переработкой рассуждений Брауэра).

Пусть — конечная группа. Символом обозначим тривиальный характер, символом характер регулярного представления и положим Для всякой подгруппы и всякого характера группы символом обозначим индуцированный характер группы

Пусть А — циклическая группа порядка а. Определим функцию на А следующими условиями:

Положим функция Эйлера); если Нужный нам результат содержится в двух предложениях.

Предложение 1. Пусть конечная группа порядка Тогда

где сумма взята по всем циклическим подгруппам группы

Доказательство. Для любых двух функций на определено обычное скалярное произведение

Пусть произвольная функция на Тогда

С другой стороны, пользуясь тем стандартным фактом, что оператор, переводящий характер подгруппы в индуцированный характер всей группы, сопряжен с оператором ограничения на подгруппу, получаем

Следовательно, функции в обеих частях доказываемого равенства имеют одинаковые скалярные произведения с любой функцией и потому совпадают. Предложение доказано.

Предложение 2. Если то функция является линейной комбинацией неприводимых нетривиальных характеров группы А с целыми положительными коэффициентами.

Доказательство. Если порядок циклической группы А прост, то в силу предложения 1 имеем и требуемый результат следует из известной структуры регулярного представления.

Для доказательства утверждения в общем случае достаточно установить, что коэффициенты Фурье функции относительно любого характера первой степени являются неотрицательными целыми числами. Пусть характер первой степени. Вычисляя скалярное

произведение относительно А, получаем

Сумма взятая по всем образующим группы А, является целым алгебраическим числом, которое к тому же рационально (по ряду элементарных соображений). Далее, если нетривиален, вещественные части всех чисел положительны, когда 0 не есть единичный элемент, и равны нулю в противном случае. Тем самым рассматриваемая сумма является целым положительным числом. Для тривиального характера она, очевидно, равна нулю. Предложение доказано.