§ 6. Глобальная аддитивная двойственность. Теорема Римана-Роха

Пусть - числовое поле (конечное расширение поля рациональных чисел Его пополнение относительно нормирования обозначается символом и все обозначения, относящиеся к локальным объектам в § 1 —4, сохраняются с добавлением индекса или в -адическом случае: и т.п.

Как мы уже отмечали, группа аделей поля представляет собой локально компактную группу — ограниченное прямое произведение групп относительно компактных подгрупп определенных для неархимедовых нормирований. Символом

мы будем обозначать переменный элемент группы аделей Рассмотрим непрерывный гомоморфизм

группы А в факторгруппу вещественных чисел Комбинация теоремы 7 с теорией локальной двойственности в нашем случае дает следующий результат.

Теорема 10. Спаривание

определяет изоморфизм группы аделей с двойственной к ней группой.

Наша следующая задача — доказать, что аддитивная группа поля вложенная в А диагонально:

является своим собственным ортогональным дополнением. Мы будем часто писать вместо

Теорема 11. Аддитивная группа совпадает со своим ортогональным дополнением относительно описанной двойственности.

Доказательство. Сначала покажем, что группа ортогональна самой себе. Это означает, что при имеем Для поля рациональных чисел последняя формула проверяется немедленно (использовать разложение рационального числа в сумму дробей, знаменатели которых являются степенями простых чисел). Пусть теперь конечное расширение поля соответственно означает оператор локального, соответственно глобального, следа. Тогда

где пробегает все нормирования поля Этим наше утверждение сводится к случаю поля где оно уже проверено.

Таким образом, мы установили, что Так как факторгруппа компактна, то группа дискретна. Поскольку факторгруппа одновременно дискретна и компактна, она должна быть конечна. Но очевидно, является векторным пространством над Следовательно, чем и завершается доказательство теоремы.

Предложение 6. Пусть множество определено как в условии теоремы 3 гл. VI, § 2. При нашем выборе меры объем равен

Доказательство. Несложный подсчет определителя. Напомним, что мера, соответствующая комплексным является удвоенной мерой Лебега.

Предложение 7. Рассмотрим подмножество группы

Его мера равна 1.

Доказательство. Это следует из того, что при нашем выборе мер мера подгруппы равна при

Теперь мы уже в состоянии применить двойственность теоремы 11 к теории интегрирования.

Нижеследующие рассуждения, по существу, относятся к любой локально компактной коммутативной группе с выделенной замкнутой подгруппой. Однако для сохранения обозначений, которые будут использоваться в приложениях, мы даем доказательство лишь в случае двойственной себе коммутативной группы А с заданной дискретной замкнутой подгруппой которая совпадает со своим ортогональным дополнением. Тогда интеграл от функции по равен сумме ее значений по всем элементам Сходимость в этом случае, разумеется, означает абсолютную сходимость. Будем предполагать, кроме того, что мера на А двойственна самой себе.

Формула Пуассона. усть непрерывная функция, принадлежащая пространству Предположим, что сумма

равномерно сходится для всех х, принадлежащих некоторому компактному подмножеству группы А, и что сумма

сходится. Тогда

Доказательство. На факторгруппе введем такую меру чтобы имела место формула

где соответствует суммированию данная мера на группе А.

Положим Мы утверждаем, что при всех . В самом деле, обозначая символом скалярное произведение элемента группы

и характера и учитывая, что

находим

так как по предположению. Далее,

Кроме того, мера на А двойственна самой себе. Следовательно, формулу обращения Фурье можно применить для вычисления значения в нуле. Утверждение теоремы немедленно следует из определения

В классической теории формула Пуассона применяется к дискретной подгруппе группы вещественных чисел. Мы будем применять ее к группе аделей,

На самом деле нам понадобится формула Пуассона для мультипликативно сдвинутой функции

Теорема Римана — Роха. Предположим, что функция удовлетворяет следующим условиям.

1. непрерывна и принадлежит пространству

2. Ряд где а — идель, адель, равномерно сходится, когда меняются в некоторых компактных подмножествах групп иделей и аделей соответственно.

3. Ряд сходится для всех иделей а. Тогда

Доказательство. Функция удовлетворяет условиям применимости формулы Пуассона: это вытекает из соотношения

Отсюда очевидным образом следует наше утверждение.