§ 2. Оценка функции ...

Нам понадобятся две леммы из теории функций комплексной переменной.

Лемма 1. Пусть функция голоморфна в полуполосе Пусть для нее при в этой области справедлива оценка где некоторая константа, а на краях оценка где некоторое положительное целое число. Тогда оценка имеет место во всей области.

Доказательство. Рассматривая функцию вместо мы можем считать, что ограничена на краях полуполосы. Докажем, что тогда она ограничена во всей полуполосе. В самом деле, рассмотрим функцию Для некоторого где достаточно мало. Тогда при больших имеем

где В — некоторая константа, Следовательно, функция ограничена константой В на горизонтальном отрезке (для достаточно больших ) между краями полуполосы

На вертикальных сторонах прямоугольника, затененного на чертеже, функция ограничена, потому что ограничена и ограниченности функции на границе прямоугольника следует ее ограниченность во всем прямоугольнике; на самом деле оценка годится и для внутренних точек. Поэтому, снова полагая имеем

внутри прямоугольника. Так как эта оценка годится при всех то внутри прямоугольника, что и дает требуемое.

Доказанная лемма известна под названием теоремы Фрагмена—Линде лефа.

Лемма 2. Пусть функция голоморфна в круге и имеет по крайней мере нулей в круге (считая каждый нуль столько раз, какова его кратность).

Пусть, кроме того, Тогда

где В — максимум модуля в большом круге.

Доказательство. Можно считать, что Пусть.

где нули функции в меньшем круге. Тогда в большом круге, очевидно,

Так как при всех то требуемое неравенство получается отсюда, если положить

Вернемся к -рядам. Положим

Рассмотрим полосу Мы утверждаем, что для некоторого целого числа в этой полосе имеет место оценка

Для доказательства заметим, что

в силу функционального уравнения. Внутри полосы функция ограничена, это следует из ее интегрального представления. С помощью асимптотики для гамма-функции отсюда следует, что внутри полосы , где с — некоторая константа. Далее, при функция ограничена; это видно из ее представления в виде произведения. То же верно для при в силу функционального уравнения. Пусть фиксированные комплексные числа; из результатов § 1 следует, что (для некоторого зависящего от внутри полосы (ибо множители вида сокращаются). Собирая вместе все эти оценки, получаем, что на краях если достаточно велико. Требуемый результат теперь следует из леммы 1.

Применяя лемму 2 к паре кругов постоянных радиусов с центром при фиксированном получаем

Предложение 1. Число нулей функции (совпадающее с числом нулей функции в прямоугольнике и оценивается как .

Следствие. Существуют такое число а и такая последовательность чисел что у функции нет нулей ни в одной горизонтальной полосе вида

Вернемся к разложению Вейерштрасса. Вычисляя разность его логарифмических производных в двух точкам

находим

Предложение 2. Пусть целое число, Пусть где — число выбрано, как выше. Тогда

где константа В зависит от а, но не зависит от Доказательство. Положим и

Имеем

где В — константа, оценивающая выражение справа от символа Сумма оценивается так:

При наших предположениях

С другой стороны, полагая (можно считать, что , находим

потому что . Следовательно,

Кроме того,

Мы сравним это выражение с оценкой для и учтем, что

Имеем

Вещественная часть средней суммы равна

и потому она не меньше

Из этой оценки требуемый результат получается немедленно с помощью следующего утверждения.

Предложение 3. Пусть 0. Функция ограничена на прямой кроме того,

когда

Доказательство. Первое утверждение следует из представления -функции в виде произведения, а второе — из формулы Стирлинга (производная от интеграла дает остаточный член).