§ 2. Квадратичные поля

Расширения степени 2 поля рациональных чисел также доставляют интересные примеры.

Теорема 5. Пусть ненулевое целое число, не делящееся на квадрат простого, Если или то составляет базис кольца над Если , то таким базисом является система

Доказательство. Упражнение. Для того чтобы элемент был цел над необходимо и достаточно, чтобы его норма и след принадлежали . С помощью этого соображения легко проверить утверждение теоремы.

Например, при число

является кубическим корнем из единицы. Поэтому оно цело над

Прежде чем доказывать следующий результат, сделаем несколько замечаний о конечных полях.

Пусть конечное поле из элементов, где степень нечетного простого числа Мультипликативная группа циклична и имеет порядок Поэтому

Для любого ненулевого целого числа положим

Это — определение символа Лежандра, который зависит лишь от класса вычетов

Из замечания об индексе следует, что число вычетов равно числу невычетов.

Теорема 6. Пусть - примитивный корень степени из единицы,

где сумма взята по ненулевым классам вычетов Тогда

Каждое квадратичное расширение поля является круговым полем.

Доказательство. Последнее утверждение немедленно вытекает из явного представления числа как квадрата в поле . Это представление получается так:

Когда пробегает все ненулевые классы, а фиксировано, тоже пробегает все ненулевые классы. Заменяя на находим

Но , так что внутренняя сумма по справа равна —1. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Тем самым поле содержится либо в поле либо в поле в зависимости от знака символа . В действительности всякое абелево расширение поля является круговым, что, однако, гораздо труднее доказать (см. [3]). Это — теорема Кронекера.