§ 4. Некоторые теоремы о сходимости

Пусть - конечное расширение поля рациональных чисел степени Пусть пробегает простые идеалы кольца степень идеала равна

Имеем

Символом обозначается мультипликативная функция на множестве идеалов поля с комплексными значениями, для которой либо либо Нулевые значения мы включаем для удобства: иногда нужно исключить из рассмотрения некоторые идеалы.

Идеалы записываются мультипликативно; буквой а обозначаются целые идеалы,

для всех кроме конечного числа. По определению, имеем . Функция с описанными свойствами называется обобщенным характером.

Каждому обобщенному характеру поставим в соответствие его -ряд:

Обобщенный характер, принимающий значения 1 для всех называется тривиальным характером и обозначается Соответствующий ему -ряд является дзета-функцией (5) поля Покажем, что ряд Дирихле сходится при

При

представляет собой обычную дзета-функцию. Интегральный критерий показывает, что этот ряд абсолютно сходится при и равномерно — при с любым Отсюда следует, что ряд

сходится абсолютно при и равномерно — при

Чтобы установить сходимость в общем случае, мы будем сравнивать -ряд с дзета-функцией или с рядом (1).

Применив к произведению формально оператор логарифмической производной

получим

где сумма берется по всем простым идеалам и всем целым числам Если мы докажем, что этот ряд абсолютно сходится при отсюда будет следовать, что ряд для тоже сходится абсолютно, и формальное логарифмическое дифференцирование законно для сходящихся рядов.

Но ряд мажорируется почленно рядом

где

и, значит, рядом Если ограничиться только теми для которых , вторую сумму можно начинать с Суммируя геометрические прогрессии, получаем:

Теорема 2. Пусть числовое поле, обобщенный характер. Ряд сходится абсолютно при и равномерно при Далее, произведение

сходится абсолютно при и равномерно при

Очевидно, только простые дивизоры степени вносят вклад в нули и полюсы -функции при

Теорема 3. Предположим, что функция имеет полюс первого порядка в точке Пусть обобщенный характер, Если примем, кроме того, что функции и голоморфны в окрестности точки если же примем, что функции и голоморфны при для некоторого всюду, за исключением простого полюса функции в точке Тогда

Доказательство. Пусть ; для вещественного имеем

где Рассмотрим функцию

Тогда

где Так как отсюда следует, что при Предположим, что Если то функция должна иметь нуль в точке Соответствующий ряд представляет эту функцию при и так как непрерывна точке она должна стремиться к нулю при Противоречие.

Если рассмотрим функцию

Выражение под знаком экспоненты представляет собой ряд Дирихле с неотрицательными коэффициентами, который мажорирует ряд

расходящийся при (как логарифм дзета-функции). Это противоречитх) следующей лемме о рядах Дирихле с неотрицательными коэффициентами.

Лемма 1. Пусть ряд Дирихле с неотрицательными вещественными коэффициентами, сходящийся при Пусть, кроме того, функция голоморфна в точке Тогда ряд сходится при

для некоторого следовательно, представляет в этой большей полуплоскости).

Доказательство. Пусть достаточно малое число. Произведя сдвиг, мы можем считать, что При имеем

Заменим экспоненты рядами Так как все коэффициенты положительны, суммирования можно поменять местами. Получится разложение функции в степенной ряд в окрестности сходящийся при Этот степенной ряд можно снова превратить в ряд Дирихле в полосе откуда и следует, что этот ряд сходится при