Глава VI. ИДЕЛИ И АДЕЛИ

В классической теории числовое поле погружается в прямое произведение его пополнений по всем архимедовым нормированиям, т. е. в евклидово пространство. Сравнительно недавно (точнее, с того времени, как Шевалле ввел и дел и в 1936 г., а Вейль вскоре после этого дал доказательство теоремы Римана-Роха в терминах аделей) выяснилось, что удобнее рассматривать прямое произведение по всем нормированиям, включая -адические, хотя и накладывать некоторые ограничения на компоненты (см. ниже). Эта глава содержит лишь самые элементарные сведения об иделях и аделях (конструкции, учитывающие мультипликативную и аддитивную структуры соответственно) и их топологиях. В обоих случаях мы доказываем некоторую теорему компактности и строим фундаментальную область. Хотя позже мы будем пользоваться существованием фундаментальных областей, знание их точного вида нам не понадобится.

Для всякой групповой схемы над кольцом целых чисел числового поля можно рассмотреть ее точки с координатами в кольце аделей и попытаться доказать аналогичные результаты. Этот подход приводит к арифметической теории алгебраических групп, которой мы здесь не будем заниматься. Ограничимся указанием на то, что идели оказываются точками схемы мультипликативной группы над кольцом аделей.

§ 1. Ограниченные прямые произведения

Пусть числовое поле. Для всякого нормированиям поля (мы подразумеваем, что оно индуцирует одно из стандартных нормирований поля определено

пополненное поле которое может быть вещественным, комплексным или -адическим. Соответствующий эпитет применяется и к нормированию

И аддитивная группа (обозначаемая иногда символом и мультипликативная группа локально компактны. В -адическом случае каждая из них содержит компактную подгруппу -адических целых чисел и -адических единиц соответственно.

Опишем общую конструкцию, позволяющую ввести ограниченное прямое произведение групп такого типа.

Пусть некоторое множество индексов, и пусть для каждого задана локально компактная коммутативная группа Пусть, далее, для всех, кроме конечного числа индексов в группе зафиксирована открытая комплексная подгруппа Ограниченным прямым произведением групп относительно подгрупп называется подгруппа прямого произведения групп состоящая из элементов, все компоненты которых, кроме конечного числа их, принадлежат

Пусть конечное множество индексов и, содержащее все V, для которых не определена. Символом обозначим подгруппу тех элементов группы компоненты которых принадлежат при Тогда

— прямое произведение локально компактных групп, из которых все, кроме конечного числа, компактны. Поэтому локально компактная группа (в топологии произведения); введем на локально компактную топологию, в которой каждая группа открыта.

Гомоморфизм отображающий на у-компоненту, является вложением как замкнутой подгруппы.

Ограниченное произведение аддитивных групп относительно подгрупп локальных целых чисел (которые определены лишь для -адических нормирований называется группой аделей поля и обозначается символом или просто А. Элементы группы называются елями.

Ограниченное произведение мультипликативных групп относительно подгрупп единиц кольца называется

группой елей поля и обозначается символом или просто J. (Топология группы иделей не совпадает с топологией, индуцированной на иделях как подмножестве аделей!) Элементы группы называются -иделями.

Поле вкладывается в группу аделей по диагонали. Действительно, всякий элемент является -адическим целым для всех, кроме конечного числа так что, вкладывая а в каждое из полей мы превращаем вектор в адель.

Аналогично мультипликативная группа вкладывается в группу иделей, потому что ненулевой элемент поля является -адической единицей для всех, кроме конечного числа

Оператор следа можно на адели. Пусть — конечное расширение поля По определению, -компонента следа равна

След является аделем поля

Подобным же образом можно ввести норму иделя поля определив ее -компоненту как

Эти определения совпадают с обычными понятиями нормы и следа элементов поля на подмножествах Иными словами, следующие диаграммы коммутативны:

Теорема 1. Аддитивная группа вложена как дискретная подгруппа группы аделей А. Мультипликативная группа вложена как дискретная подгруппа группы иделей

Доказательство. Пусть Близость а к нулю в топологии аделей означает, что для всех, кроме конечного числа нормирований очень

малы для конечного множества нормирований Из формулы произведения следует, что тогда Поэтому — изолированный элемент подгруппы в группе это и означает, что дискретна в А. То же рассуждение в применении к элементу близкому к , показывает, что подгруппа дискретна в