§ 1. Верхняя оценка для вычета

Лемма 1. Существует, такая абсолютная константа что неравенство

имеет место для всех числовых полей и всех

Доказательство. Пользуясь следствием 3 из теоремы 14 и теоремой 15 (гл. VII) и учитывая, что интегральные выражения для дзета-функции неотрицательны при вещественных получаем для неравенство

Положим Множители равномерно ограничены; члены получаются очевидным образом; из представления дзета-функции в виде произведения находим

Это дает требуемый результат.

Лемма 2. Существует такая константа что для всех имеем

Если пробегает последовательность полей, для которой то

Доказательство. Воспользуемся элементарной оценкой, согласно которой число корней из единицы в числовом поле не превосходит где абсолютная константа. (Поле корней степени из единицы

имеет над степень тогда, учитывая, что для взаимно простых получаем необходимую оценку для в терминах

Из леммы 1 и формулы для находим

Полагая получаем первое утверждение. Зафиксируем а и рассмотрим нашу последовательность полей; если а достаточно велико, то для всех полей, кроме конечного числа их, левая часть не превосходит где можно сделать сколь угодно малым.