§ 3. Идели

В этом параграфе мы проведем аналогичное исследование для мультипликативных иделей.

Пусть — любое конечное множество нормирований в системе содержащее подмножество архимедовых нормирований.

Для всякого -адического нормирования и определено кольцо -адических целых чисел и подгруппа единиц этого кольца. Обе эти группы компактны.

Компоненты всякого иделя принадлежат группам все, кроме конечного числа из них, принадлежат даже Положим

и

Так как все члены этого произведения, кроме конечного числа, равны 1, оно однозначно определено. Далее, отображение

определяет гомоморфизм

группы на мультипликативную группу положительных вещественных чисел. Очевидно, этот гомоморфизм непрерывен, а его ядром является замкнутая подгруппа группы которую мы обозначим

В силу формулы произведения содержится в в качестве замкнутой дискретной подгруппы.

Можно ввести естественный гомоморфизм группы на группу дробных идеалов кольца Действительно, для всякого иделя компоненты принадлежат так что можно определить порядок относительно если есть -адическое нормирование. Этот порядок равен целому числу которое определяется из равенства

где простой элемент, и — единица группы Положим

Тогда для почти всех V, и тем самым выражение

представляет собой дробный идеал, обозначаемый также символом Отображение

является гомоморфизмом группы на группу дробных идеалов ядро которого равно

Элемент поля рассматриваемый как идель, называется главным иделем. С ним связан главный идеал. Следовательно, описанное выше отображение индуцирует гомоморфизм группы на группу классов идеалов. Факторгруппа называется группой классов иделей и обозначается символом (или С, если очевидно, какое поле имеется в виду). Она содержит замкнутую подгруппу

Пусть -конечное подмножество системы содержащее является открытой подгруппой группы а -открытой подгруппой группы Пересечение

мы будем обозначать символом и называть группой -единиц. Она, очевидно, является дискретной подгруппой группы При она совпадает с группой единиц кольца целых чисел т. е. с множеством тех элементов для которых при Факторгруппа называется группой классов -иделей и обозначается символом Определены естественные вложения

при которых меньшая группа отображается на открытую и замкнутую подгруппу большей группы (это проверяется непосредственно). В терминах иделей первое

отображение индуцировано вложениями

и имеет место изоморфизм топологических групп

При группа изоморфна группе классов идеалов (дробных) и потому конечна. Следовательно, при любом группа конечна, потому что она является гомоморфным образом группы . В частности, можно рассматривать как ядро гомоморфизма группы на группу классов идеалов. Группу можно интерпретировать подобным же образом как ядро гомоморфизма на группу классов идеалов, представленных идеалами, взаимно простыми с (в очевидном смысле).

Теорема 4. Факторгруппа компактна. То же относится к группам для любого конечного множества .

Доказательство. Пусть

— отображение, ставящее в соответствие каждому иделю а число Так как можно считать, что определено на Его ядром является группа Для всякого вещественного числа положим Множество топологически изоморфно . В самом деле, рассмотрим идель

с компонентами в архимедовых нормированиях и 1 — в остальных. Тогда Поэтому достаточно доказать, что для некоторого множество компактно.

Лемма. Можно найти такую константу что для и всех существует такой элемент что при всех

Доказательство. Согласно теореме 0 § 1, гл. V, существует такой элемент что

для всех Отсюда вытекают неравенства

для всех следовательно, для всякого

что и требовалось.

Для -адических нормирований значения имеют вид

и лишь для конечного числа идеалов имеет место неравенство Выберем число как в лемме. Из сделанного замечания вытекает существование такого множества что

Пусть -подмножество, определенное этими неравенствами. Оно имеет вид

Каждый множитель в этом произведении компактен (каждое кольцо — это множество чисел с нормой между Следовательно, множество X компактно. При каноническом гомоморфизме

X отображается на компактное подмножество группы С, содержащее Следовательно, компактно, что и требовалось доказать. Компактность факторгруппы получается немедленно.

Из компактности группы можно вывести теорему о единицах, не пользуясь соображениями, изложенными в конце § 1 гл. V. Укажем, как это делается.

Пусть дано множество состоящее из элементов. Рассмотрим логарифмическое отображение

Группа отображается в гиперплоскость заданную уравнением

Группа отображается на дискретную подгруппу пространства Действительно, в каждом ограниченном подмножестве пространства содержится только конечное число элементов группы (Это очевидно, ибо ограниченное множество определяется неравенствами, наложенными на локальные нормы элемента поля и потому на коэффициенты уравнения над корнем которого является этот элемент.)

Теорема 5. Образ является дискретной подгруппой ранга пространства

Доказательство. Заметим сначала, что пространство порождено над векторами потому что компонент иделя из множества можно выбрать произвольными, а затем подобрать последнюю (архимедову) компоненту так, чтобы сумма логарифмов была нулевой. Пусть подпространство, порожденное векторами Рассмотрим непрерывный гомоморфизм

Его образ порождает как векторное пространство над Но это — непрерывный образ компактного множества; следовательно, он компактен. Отсюда вытекает, что что и требовалось доказать.

Ядро логарифмического отображения состоит в точности из корней из единицы, содержащихся в поле потому что оно представляет собой подгруппу, состоящую из элементов, все нормы которых ограничены, так что эта подгруппа конечна.

Опишем некоторую фундаментальную область для группы она понадобится нам для вычислений.

Выберем одно нормирование и обозначим через дополнение к Ограничение логарифмического отображения на будем обозначать буквой Отображение

является гомоморфизмом на -мерное евклидово пространство, Эпиморфность следует из того, что компонент иделя из множества можно выбрать произвольно, а затем подобрать оставшуюся компоненту так, чтобы идель попал в

Пусть -базис группы единиц по модулю корней из единицы. Тогда векторы образуют базис пространства и для всякого элемента имеем

где вещественные числа определены однозначно. Пусть параллелотоп в -мерном пространстве, натянутый на векторы т. е. множество векторов вида

с . Пусть, далее, число корней из единицы, содержащихся в поле Обозначим символом подмножество всех иделей для которых Пусть, далее, порядок группы классов идеалов, элементы группы с которыми связаны идеалы, представляющие все классы. Имеет место следующий результат.

Теорема 6. Подмножество группы

является фундаментальной областью этой группы

Доказательство. Деля любой идель на однозначно определенный идель мы можем добиться, чтобы связанный с ним идеал был главным. Умножая на элемент поля, мы превратим этот главный идеал в единичный; идель, следовательно, попадет в группу Умножение на подходящую единицу сдвигает идель в а затем умножение на соответствующий корень из единицы позволяет исправить аргумент так, чтобы идель попал в Очевидно, результат определен однозначно. Это доказывает нашу теорему.