§ 2. Целое замыкание

Пусть кольцо, произвольный элемент некоторого поля содержащего Элемент х называется целым над кольцом если выполнено одно из следующих условий.

Ц1. Существует такой конечно порожденный ненулевой -модуль что

Ц2. Элемент х удовлетворяет некоторому уравнению вида

с коэффициентами где - целое число. (Такое уравнение мы будем называть целым.)

На самом деле оба эти условия эквивалентны. Действительно, если выполнено условие то модуль порожденный элементами отображается в себя при умножении на х. Обратно, пусть существует такой ненулевой модуль что Тогда

где Перенося члены вправо, получаем отсюда, что определитель

равен нулю. Это дает целое уравнение для х над кольцом А.

Предложение 1. Пусть А — кольцо, К — его поле частных, алгебраический над К элемент. Существует такой ненулевой элемент что цел над А.

Доказательство. Существует некоторое уравнение вида

где Умножим это уравнение на Тогда

дает искомое уравнение для элемента над А.

Пусть В — некоторое кольцо, содержащее А. Назовем кольцо В целым над А, если всякий его элемент цел над А.

Предложение 2. Если кольцо В цело над А и конечно порождено как А-алгебра, то оно конечно порождено и как А-модуль.

Доказательство. Можно провести индукцию по числу образующих Л-алгебры В, так что достаточно рассмотреть случай, когда где некоторый целый над А элемент. Но мы уже убедились, что в этом случае утверждение справедливо.

Предложение 3. Пусть - три кольца. Если В цело над А, а С цело над В, то С цело и над А.

Доказательство. Пусть Элемент х удовлетворяет целому уравнению

где Положим Тогда по предложению кольцо конечно порождено как -модуль, а кольцо также конечно порождено как -модуль. Следовательно, это последнее кольцо представляет собой конечно порожденный -модуль, а так как умножение на х отображает его в себя, то элемент х цел над

Предложение 4. Пусть два кольца, и В цело над А. Пусть о — некоторый гомоморфизм кольца В. Тогда кольцо цело над

Доказательство. Применим к целому уравнению, которому удовлетворяет элемент х кольца В. В результате получится целое уравнение для элемента над кольцом

Это предложение часто используется в случае, когда а — изоморфизм; оно особенно полезно в теории Галуа.

Предложение 5. Пусть А — кольцо, содержащееся в поле Пусть В — множество тех элементов поля которые целы над А. Тогда В — кольцо. (Оно называется целым замыканием кольца

Доказательство. Пусть и пусть конечно порожденные -модули, для которых Тогда модуль конечно порожден и отображается в себя при умножении на

Следствие. Пусть А — кольцо, К — его поле частных, конечное сепарабельное расширение поля К? Пусть любой элемент поля целый над А. Тогда норма и след элемента х из целы над А. Целы также все коэффициенты неприводимого многочлена над полем К, корнем которого является х.

Доказательство. Для всякого изоморфизма поля над К элемент цел над А. Поскольку норма является произведением элементов для всех , а след — суммой таких элементов, то они целы над А. Коэффициенты же неприводимого уравнения с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими функциями от элементов значит, тоже целы над А.

Кольцо А называется целозамкнутым в поле если всякий элемент этого поля, целый над А, принадлежит А. Кольцо называется целозамкнутым, если оно целозамкнуто в своем поле частных.

Предложение 6. Пусть А — нетерово целозамкнутое кольцо, конечное сепарабельное расширение его поля частных К. Тогда целое замыкание кольца А в поле конечно порождено над А.

Доказательство. Так как кольцо А нетерово, достаточно проверить, что его целое замыкание содержится в некотором конечно порожденном Л-модуле.

Пусть линейный базис расширения над К. Умножив каждый элемент на подходящий элемент кольца А, мы, не теряя общности, можем считать, что целы над А (предложение 1). Оператор следа из поля является К-линейным отображением Оно ненулевое: существует элемент для которого Для всякого ненулевого элемента функция на принадлежит пространству, двойственному над К. Этим определяется гомоморфизм в двойственное пространство. Поскольку ядро такого отображения тривиально, то изоморфно своему двойственному пространству, и этот изоморфизм определяется билинейной формой

Пусть базис, двойственный к так что

Пусть - такой ненулевой элемент, что все целы над Пусть элемент цел над А. Тогда все элементы и все их следы целы над А. Положим

где Тогда

так как кольцо А целозамкнуто. Следовательно, содержится в -модуле

Поскольку в качестве мы взяли произвольный элемент целого замыкания кольца в поле то это целое замыкание содержится в некотором конечно порожденном -модуле, что и завершает доказательство.

Предложение 7. Всякое кольцо А с однозначным разложением на множители целозамкнуто.

Доказательство. Предположим, что существуют частное целое над А, и простой элемент который делит но не делит а. Для некоторого целого числа имеем

откуда

Так как делит он должен делить а значит, и а, что противоречит предположению.

Теорема 1. Пусть А — кольцо главных идеалов, конечное сепарабельное расширение его поля частных, имеющее степень Пусть В — целое замыкание кольца Тогда В является свободным -модулем ранга

Доказательство. В как модуль над не имеет кручения. Согласно общей теории колец главных идеалов,

всякий конечно порожденный модуль без кручения над таким кольцом свободен. Совпадение его ранга со степенью очевидно.

Теорема 1 применяется к кольцу целых чисел Всякое конечное расширение поля рациональных чисел называется числовым полем. Целое замыкание кольца в числовом поле К называется кольцом целых алгебраических чисел этого поля и обозначается символом а иногда также символом

Предложение 8. Пусть А — подкольцо кольца В, целого над -мультипликативное подмножество кольца А. Тогда кольцо цело над Если А целозамкнуто, то и целозамкнуто.

Доказательство. Пусть и -конечно порожденный -модуль, для которого Тогда конечно порожденный -модуль, который отображается в себя при умножении на так что этот последний элемент цел над Для доказательства второго утверждения рассмотрим элемент х из поля частных кольца целый над кольцом Он удовлетворяет уравнению

где Следовательно, существует такой элемент для которого цел над значит, принадлежит Тем самым, х принадлежит кольцу

Следствие. Пусть В является целым замыканием кольца А в некотором расширении поля частных тогда является целым замыканием кольца