§ 2. Адели

Заметим, что если определить умножение аделей покомпонентно, они образуют топологическое кольцо (с делителями нуля). Умножение иделя а на адель х дает адель Отображение

определенное для всякого иделя а формулой является топологическим линейным автоморфизмом аддитивной группы кольца А на себя.

Обозначим символом подмножество архимедовых нормирований в канонической системе нормирований

Теорема 2. Имеем

Факторгруппа компактна.

Доказательство. Первое утверждение означает, что для всякого аделя х существует такой элемент а что адель а имеет целые компоненты по всем дискретным нормированиям Это — простое обобщение китайской теоремы об остатках, которое можно доказать, например, так. Пусть — такое целое рациональное число, что имеет целые компоненты по всем дискретным нормированиям Пусть -множество простых идеалов делящих . В поле существует элемент а, удовлетворяющий сравнениям

для всех - как угодно большое целое число (это следует из обычной китайской теоремы об остатках). Тогда элемент будет -цел для всех если достаточно велико.

Поле можно погрузить в евклидово пространство

При этом целые числа образуют решетку ранга в этом пространстве.

Для доказательства компактности факторгруппы заметим, что любой элемент сдвигом на число из можно перевести в После этого, сдвинув на целое число из полученный элемент из можно добиться того, чтобы его компоненты при всех были ограничены, потому что целые числа образуют решетку максимального ранга. Следовательно, в каждом классе факторгруппы имеется представитель, содержащийся в компактном подмножестве группы . Это означает, - что факторгруппа компактна.

На самом деле легко построить фундаментальную область для этой группы.

Теорема 3. Пусть - базис кольца целых чисел 1 поля над Пусть — подмножество произведения

состоящее из векторов вида с Тогда множество

представляет собой фундаментальную область для группы

Доказательство. Всякий элемент можно перевести в сдвигом на элемент поля который определен однозначно по модулю

Если мы требуем, чтобы координаты лежали в полуоткрытых интервалах то это условие определяет сдвиг уже совсем однозначно.