§ 4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье

В силу (18) § 4.12 для  имеет место равенство

            (1)

Если функция  четная, то второй интеграл в правой части (1) равен нулю, а в первом интегрирование по  на  сводится к интегрированию по , и мы получим формулу

.                            (2)

Для нечетной же функции  первый интеграл справа в (1) равен нулю, а функция  четная. Поэтому

.                             (3)

В формулах (2) и (3) можно считать, что , а  есть произвольная кусочно-гладкая функция, принадлежащая . Ведь в этих формулах используются только значения  на полуоси . Поясним это замечание подробнее.

Пусть задана кусочно-гладкая функция  такая, что . Продолжив ее на всю действительную ось четным образом, получим четную кусочно-гладкую функцию , для которой верна формула (2); в частности, она верна для .

Будем теперь считать, что для нашей кусочно-гладкой функции  выполняется равенство  (вообще ). Продолжим  нечетным образом на , получим нечетную кусочно-гладкую функцию , для которой верна формула (3); в частности, она верна для . Подчеркнем, что в формуле (3) , в то время как в формуле (2) значение  может быть любым.

Интегралы

.

называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Из формул (2) и (3) непосредственно следует, что если к кусочно-гладкой функции  применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функцию . В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным самому себе.