3.3.4. Инварианты и неравенства для моментов и произведений инерции
При исследовании устойчивости движения и других задач иногда необходимо определить знак выражений, составленных из моментов и произведений инерции. В подобных случаях полезно знать инварианты матрицы инерции и неравенства, содержащие моменты и произведения инерции. Уравнение (3.12) представляет собой кубическое уравнение, служащее для определения главных моментов инерции. Поскольку эти моменты не зависят от ориентации векторного базиса, в котором вычисляется матрица инерции 
коэффициенты кубического уравнения также не должны от нее зависеть. Опуская верхний индекс (2), отсюда получаем
инварианты
Корни кубического уравнения положительные или — в физически Нереализуемом случае бесконечно тонкого стержня — нули. Поэтому выполняются условия критерия Гурвица. Отсюда следуют неравенства Сильвестра: 
. (это уже следует из определения момента инерции), 
(это получается из соотношений (3.13)) и
Эти последние неравенства не содержатся в соотношениях (3.13).
Из определения моментов и произведений инерции, даваемого соотношением (3.4), следует, что для 
, служащих любой из перестановок индексов 1, 2 и 3, имеет место соотношение
и поэтому
Знак равенства имеет место лишь в случае, когда 
т. е. для физически нереализуемого тела в форме бесконечно тонкой пластинки. Кроме того, из соотношения (3.4) с учетом неравенства 
или 
следует, что
или
Задачи
(см. скан)
