5.2.8.5. Уравнения движения

Теперь подставим выражения (5.127), (5.132), (5.158), (5.168) и (5.170) для в уравнения (5.104). Это дает

или в сокращенной форме

где

В силу независимости обобщенных координат получаем

Эти уравнения представляют собой уравнения движения системы в их окончательном виде. Их число равно числу обобщенных координат. Матрица коэффициентов симметрическая. Она является также положительно определенной. Это следует из того, что матрицу коэффициентов при найденную из принципа Даламбера, всегда можно интерпретировать как матрицу коэффициентов в выражении кинетической энергии.

Частный случай. Принцип Даламбера для частного случая систем с фиктивным шарниром 1 был записан в виде уравнений (5.108) и (5.109). Здесь нужно рассмотреть только последнее уравнение. Матрицы-столбцы необходимо выразить через обобщенные координаты, их производные и вариации и время. Чтобы сделать это, нового рассмотрения кинематики системы не требуется! Матрицы остаются такими же, как в уравнении (5.104) принципа Даламбера для общего случая. Они задаются формулами (5.127) и (5.132) соответственно. Матрицы и могут быть получены из соотношений (5.158) и (5.168) для соответственно способом, который уже использовался в разд. 5.2.4.

Векторы связаны соотношением . Все соотношений объединяются в матричной форме Используя выражение (5.136) для , получим

(последний член объясняется свойством матрицы отмеченным перед формулой (5.136)). Умножим теперь это уравнение слева на матрицу, транспонированную к матрице элементы которой определяются формулами (5.43). В силу (5.46) левая часть снова дает . В правой части член равен нулю в соответствии с (5.49). Тогда остается

Отсюда можно получить выражения для и Однако в этом нет необходимости, так как эти выражения получаются непосредственно умножением формул (5.158) и (5.168) для слева на :

Элементы первой строки матрицы Т либо все равны либо все равны —1. Первая строка произведения равна тогда либо либо , следовательно, в соответствии с (5.49) равна нулю. Отсюда следует, что в выражениях для и первый столбец каждой из матриц и к умножается на нуль. В первые столбцы входят только величины, связанные с поступательным движением базиса и тела 1 относительно друг друга, а именно и частные производные где — число степеней свободы в фиктивном шарнире номер 1. Тогда для рассматриваемого относительного поступательного движения из уравнения (5.109) с подстановкой в него соответствующих выражений для и нельзя получить дифференциальные уравнения. Этого и следовало ожидать, так как соответствующие уравнения были заменены уравнением (5.108) движения центра масс всей системы. Следовательно, нет необходимости вводить шесть обобщенных координат для шарнира 1. Нужны только три координаты, которые описывают угловую ориентацию базиса и тела 1 относительно друг друга.

Резюмируя, можно сказать следующее. В матрицах-столбцах

и шарнир 1 представлен только тремя величинами соответственно. Поэтому первые столбцы матриц и к также содержат только по три элемента. В матрице к, в частности, эти три элемента равны нулю. Однако это не имеет значения, так как первый столбец матрицы к все равно умножается на нуль. В матрице элементы не равны нулю и оказывают влияние на .

Возможная работа в уравнении (5.109) имеет тот же вид, как и в общем случае. Она определяется выражением (5.170). Сила и момент в шарнире 1 равны нулю. Теперь в уравнение (5.109) можно подставить выражения для после чего оно приводится к виду Как следствие независимости всех вариаций уравнения движения получим снова в виде

Теперь матрицы А и В равны

Эти уравнения совместно с уравнением (5.108) полностью описывают поведение системы.

Произведение в матрице В в соответствии с (5.157) равно

Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу тождества последние три члена выражения для которые имеют вид (5.163), не дают вклада. Здесь и в других местах в выражениях для А и В встречается матричное произведение Точно так же, как матрицы интерпретировались в терминах векторов соответственно, можно теперь дать физическую интерпретацию и для произведения Это достигается обобщением векторов которые были определены для дополненных тел (рис. 5.15) и, как было показано, являются элементами матрицы По аналогии с новые векторы определяются теперь как для

Их можно интерпретировать следующим образом. Снова для каждого тела системы многих тел строится дополненное тело по обычным правилам. Однако на этот раз точечные массы присоединяются не в конечных точках векторов а в конечных точках векторов определяемых формулами (5.160), т. е. в шарнирных точках. Так как каждая шарнирная точка перемещается относительно одного из двух соответствующих смежных тел, то так построенные дополненные тела не являются, вообще говоря, твердыми. Векторы показаны на рис. 5.40 (ср. с рис. 5.15).

Рис. 5.40.

Рис. 5.41. Пространственная система материальных точек, связанных пружинами.

Задачи

(см. скан)