Предисловие

Система твердых тел в этой книге понимается как произвольная совокупность конечного числа твердых тел, связанных между собой посредством соединений с идеальными голономными, неголономными, стационарными и/или нестационарными связями. Типичными примерами являются солнечная система, механизмы в машинах и живые организмы, например человеческое тело при условии, что отдельные его части можно рассматривать как твердые. Исследование динамики любой такой системы требует построения нелинейных уравнений движения, нахождения выражений для энергии, кинематических соотношений и других величин. Обычно это делается отдельно для каждой системы, и труд, необходимый для вывода, например, уравнений движения из уравнений Лагранжа, рассматривается как неизбежный. Главная цель данной книги — детальное описание формализма, который существенно упрощает указанные задачи. Этот формализм является общим, так как он приводит к математическим выражениям и уравнениям, справедливым для любой системы твердых тел. Он является гибким, так как оставляет исследователю выбор обобщенных координат. В то же самое время он разработан так, что для его применения к любой конкретной системе требуется не более чем конкретизация геометрии системы. Эта книга интересна как теоретикам, так и практикам.

Первые четыре из шести глав посвящены основным принципам и классическим результатам. В гл. 1 читатель знакомится с векторными и тензорными обозначениями, которые для компактности изложения используются во всей книге. Для облегчения перехода от символической записи уравнений к скалярно-координатной форме записи вводятся матрицы координат векторов и тензоров. Обсуждаются правила преобразования таких матриц и указаны методы преобразования символической формы составных векторно-матричных выражений в скалярно-координатную. Для компактности символической записи систем уравнений вводятся матрицы,

элементами которых являются векторы или тензоры. Определены обобщенные правила умножения для таких матриц.

В гл. 2, посвященной кинематике твердого тела, рассматриваются направляющие косинусы, углы Эйлера, углы Брайнта и параметры Эйлера. Вводится понятие угловой скорости и дается вывод кинематических дифференциальных уравнений, которые связывают угловую скорость со скоростями изменения обобщенных координат. В гл. 3 излагаются основные принципы динамики твердого тела. Понятия как кинетической энергии, так и момента количеств движения приводят к введению тензора инерции. Теорема о моменте количеств движения выведена из аксиомы Эйлера, а также из принципа Даламбера. Ввиду жестких ограничений на объем книги рассмотрены только те вопросы, которые необходимы для последующих глав. Другие важные понятия, такие, как, например, циклические скорости или квазикоординаты, не затрагиваются. В гл. 4 излагаются некоторые классические задачи механики твердого тела, для которых существуют решения в замкнутой форме. Гл. 5, составляющая половину книги, посвящена изложению общего формализма динамики систем твердых тел. Построены кинематические соотношения, нелинейные уравнения движения, выражения для энергии и других величин, которые пригодны как для численных, так и для нечисленных исследований. Единое описание, охватывающее любые системы твердых тел, опирается главным образом на применение понятий теории графов (первое ее применение в механике относится ко времени опубликования работы [1]). Этот математический аппарат в комбинации с матричными и символическими векторными и тензорными обозначениями приводит к выражениям, которые можно легко интерпретировать в физических терминах. Полезность формализма продемонстрирована на некоторых нетривиальных иллюстративных примерах. В гл. 6 исследуются явления, которые происходят, когда система многих тел испытывает соударение с другой системой или когда удар происходит между двумя ее собственными телами. Определены мгновенные изменения скоростей и внешние импульсы в соединениях между телами, обусловленные такими соударениями. Это исследование обнаруживает интересную аналогию с законом Максвелла и Бетти в теории упругости.

Результаты, представленные в п. 1, 2, 4, 6, 8 и 9 разд. 5.2,

получены в тесном сотрудничестве с проф. Р. Е. Роберсоном (Калифорнийский университет в Сан-Диего), с которым автор непрерывно обменивался идеями и результатами с 1965 г. Многочисленные математические вопросы обсуждались в ряде долгих дискуссий, так что на единоличное авторство здесь никто не претендует. Пользуюсь приятной возможностью выразить благодарность всем участникам этих дискуссий. Я также благодарен доктору Л. Лилову (Болгарская академия наук), с которыми тесно сотрудничал в разработке проблем, обсуждаемых в книге. Ему принадлежит ведущая роль в применении методов аналитической механики (п. 5.2.8); он внес также идеи, важные для п. 5.2.5. Наконец, я благодарю издателей за их любезное терпение при ожидании завершения рукописи.

Ганновер, весна 1977 г. Й. Виттенбург

Посвящается моим родителям