5.2.5. Частный случай спутника на круговой орбите, состоящего из многих тел

В этом разделе рассматривается один из исключительных случаев для систем многих тел, в котором результаты, представляющие как теоретический, так и практический интерес, могут быть получены нечисленными методами. Физическое явление, которое предстоит исследовать, объясним сначала на простом примере, когда вместо системы многих тел рассматривается одно твердое тело. Тело движется как спутник на круговой орбите вокруг Земли. Гравитационные силы задаются законом Ньютона. Это означает, что материальная частица спутника, радиус-вектор которой относительно центра Земли есть притягивается силой

где — произведение универсальной гравитационной постоянной на массу Земли. Это соотношение указывает на физическое явление, которое необходимо обсудить. Частицы с одинаковыми

массами, но по-разному расположенные внутри спутника, подвержены действию различных сил гравитационного притяжения. Если характерный размер спутника порядка нескольких метров, а радиус орбиты порядка 6 500 км, то отношение этих двух величин приблизительно равно Разность между силами гравитационного притяжения, действующими на две частицы с одинаковыми массами, следовательно, чрезвычайно мала по сравнению с самой притягивающей силой. Этой разностью можно без всякого ущерба пренебречь, когда орбита определена.

Таким образом, на данном этапе решения задачи радиус-вектор каждой материальной частицы заменяется радиус-вектором центра масс спутника. Это упрощение приводит к кеплеровой орбите для центра масс. В рассматриваемом случае предполагается, в частности, что орбита является круговой, так что величина не зависит от времени. Спутник движется вдоль траектории с постоянной орбитальной угловой скоростью величина которой зависит от радиуса орбиты Эта зависимость дается третьим законом Кеплера

Неоднородностью гравитационного поля по объему, занимаемому спутником, нельзя, однако, пренебрегать, если речь идет о вращательном движении спутника. Сила приложенная к материальной частице дает момент относительно центра масс. Если его проинтегрировать по всей массе, то получится главный момент гравитационных сил, который, вообще говоря, не равен нулю. Хотя этот момент весьма мал. им нельзя пренебрегать по той простой причине, что это единственный момент внешних сил, приложенный к телу (здесь предполагается, что отсутствуют другие моменты сил, вызванные, например, солнечным давлением на поверхность спутника или взаимодействием с магнитным полем Земли).

Из разъяснения, сделанного по поводу главного момента гравитационных сил, сразу следует, что указанный момент является функцией параметров угловой ориентации тела относительно Земли. Для описания этой ориентации используется орбитальная система координат показанная на рис. 5.26. Ее начало совпадает неизменно с центром масс спутника, а сама она вращается относительно Земли с орбитальной угловой скоростью Базисный вектор направлен вдоль местной вертикали наружу, а вектор — вдоль Пусть — центральный тензор инерции тела и абсолютная угловая скорость вращения тела соответственно. Если обозначает главный момент гравитационных сил, то вращательное движение тела описывается уравнением

По отношению к орбитальной системе координат тело вращается с угловой скоростью, которую обозначим через Поэтому и Следовательно, для вращательного движения относительно базиса имеем уравнение

Представляет интерес рассмотреть вопрос, допускает ли это уравнение решение т. е. может ли спутник оставаться неподвижным относительно вращающейся системы координат е. Такое состояние существует и называется положением относительного равновесия. Из уравнения (5.64) получаем в качестве условия относительного равновесия уравнение

Величина в правой части, как было показано, представляет собой функцию параметров угловой ориентации тела относительно базиса е. То же самое справедливо для члена в левой части, поскольку имеет постоянные координаты а тензор инерции имеет постоянные компоненты в системе координат, неизменно связанной с телом. Поэтому уравнение (5.65) определяет неизвестную угловую ориентацию в положении относительного равновесия.

Рис. 5.26. Одно тело на круговой околоземной орбите и орбитальная система координат е.

Такого рода положения относительного равновесия можно наблюдать в природе. Луна находится в относительном равновесии на своей земной орбите, а планета Меркурий — на своей орбите вокруг Солнца. Положения относительного равновесия имеют большое практическое значение для функционирования орбитальных космических аппаратов. При конструировании искусственных спутников, предназначенных для наблюдений и передачи сигналов, положения относительного равновесия должны быть известны заранее. Только тогда можно установить камеры и антенны таким образом, чтобы в течение полета они всегда были направлены вертикально вниз на Землю.

После этих вводных замечаний можно сформулировать общую задачу, которую предстоит здесь рассмотреть. Задана система многих тел со структурой дерева и шаровыми шарнирами, в которых отсутствуют какие-либо моменты внутренних шарнирных сил. Каждое отдельное тело представляет собой гиростат с роторами, угловые скорости которых относительно несущего тела сохраняются постоянными при помощи управляющих устройств. Вся система движется как спутник по круговой орбите вокруг Земли. Необходимо ответить на следующие вопросы. Допускает ли система положения относительного равновесия в том смысле, что все несущие тела системы находятся одновременно в относительном равновесии, причем роторы вращаются относительно этих тел? Если да, то как сделать положения относительного равновесия зависящими от параметров системы, в частности от моментов количеств движений роторов относительно несущих тел? Силами взаимного гравитационного притяжения между телами системы можно пренебречь.

Решение будет найдено с помощью следующей последовательности рассуждений, описанной выше для спутника в виде одного тела. Сначала будут составлены уравнения вращательного движения системы; будут получены выражения для внешних гравитационных сил и их моментов. Из полученных уравнений выводятся условия равновесия подстановкой вместо абсолютных угловых скоростей всех несущих тел системы. Уравнения вращательного движения составляются на основании уравнения (5.61). Моменты внутренних шарнирных сил равны нулю по предположению. Внешние силы и моменты обусловленные гравитационным полем Земли, будут рассмотрены позже.

Необходимо только обратить внимание на наличие роторов на телах. Уравнения (5.61) описывают систему без роторов. Несложно, однако, добавить к уравнению члены, которые делают его применимым в рассматриваемо случае. В связи с этим необходимо напомнить, что с точностьк до формы уравнения (5.61) и (5.57) идентичны. Символ обозначает в последнем производную по времени от момента количеств абсолютного движения тела относительно его центра масс.

Если тело представляет собой гиростат, состоящий из несущего тела и роторов, вращающихся с постоянными угловыми скоростями относительно несущего тела, то момент количеств абсолютного движения слагается из двух частей (см. разд. 4.6). Первая часть является моментом количеств движения тела (несущее тело плюс роторы), когда все роторы «заморожены». Эта часть есть величина, обозначенная в уравнении (5.57) через Второй член представляет собой главный момент количеств движения относительно

несущего тела всех роторов, установленных на несущем теле. Это вектор координаты которого в неизменно связанной с несущим телом системе координат являются постоянными величинами. Если абсолютная угловая скорость несущего тела то необходимо заменить выражением Последнее векторное произведение представляет собой единственный добавочный член, возникающий из-за наличия роторов. Отсюда следует, что уравнения вращательного движения (5.61) должны быть заменены уравнениями

Далее составим выражения для Они не зависят от вращений роторов относительно несущих тел, поскольку существенно только распределение масс системы. Следовательно, роторы в данный момент предполагаются «замороженными».

Рис. 5.27. Спутник на круговой орбите, состоящий из многих тел, и векторы, определяющие положение материальной частицы в теле

На рис. 5.27 показаны система тел и орбитальная система координат с началом в центре масс всей системы, радиус-вектор которого относительно Земли обозначен через Модуль вектора по предположению является постоянным. Вектор, проведенный из центра масс системы в центр масс тела обозначим, как на рис. 5.21, через Положение материальной частицы в теле определим фиксированным в теле радиус-вектором Гравитационная сила, действующая на элемент

массы, есть

Разложим знаменатель в ряд Тейлора:

Многоточие обозначает квадратичные члены и члены более высокого порядка относительно которыми можно пренебречь (в числовых примерах, данных ранее, квадратичные члены имеют порядок ). С учетом этого выражения примет вид

После перемножения членом можно пренебречь по сравнению с как членом второго порядка. Множитель перед первой скобкой равен (см. (5.63)), поэтому

Теперь можно выполнить интегрирование по всей массе тела . Принимая во внимание равенства , получим

Сила равнялась бы просто если бы полная масса тела была сосредоточена в центре масс всей системы. Остающиеся члены, которые в приведенном ранее примере меньше величины порядка , обусловлены конечностью размеров системы.

Далее оценим момент относительно центра масс тела . Он представляется интегралом

или, принимая во внимание (5.67),

Учитывая, что последнее выражение приведем к виду

или, поскольку равно нулю,

Интеграл в последнем выражении представляет собой центральный тензор инерции тела . Таким образом, получаем окончательный результат:

Это подтверждает высказанное ранее утверждение о том, что в неоднородном гравитационном поле тело конечных размеров, вообще говоря, подвержено действию очень малого момента сил, зависящего от угловой ориентации тела относительно орбитальной системы координат. Величина момента сил в основном определяется орбитальной угловой скоростью имеющей для околоземных орбит порядок .

Прежде чем подставлять выражения для в уравнения движения, вернемся еще раз ненадолго к частному случаю одного твердого тела на орбите. Уравнение движения в этом случае имеет вид

Отсюда следует замечательный результат, заключающийся в том, что два разных тела с одинаковыми отношениями главных моментов инерции движутся с одинаковыми угловыми скоростями если только и начальные условия также совпадают. Размеры тел не оказывают влияния. Учитывая, что условие равновесия (5.65) для одного тела приведем к виду

Каждая из частей уравнения равна нулю, если а также параллельны главным осям инерции тела. Тогда все три главные оси инерции параллельны базисным векторам . Можно показать, что эти положения относительного равновесия являются единственными решениями условия равновесия. С этой целью разложим это уравнение на три скалярных уравнения для орбитальных координат. Матрицы координат, соответствующие и имеют вид

Элементы матрицы конечно, пока неизвестны, поскольку неизвестно положение равновесия. Уравнение (5.70) дает

или после выполнения умножений в обеих частях

Следовательно, в положении относительного равновесия все три произведения инерции равны нулю. Это доказывает тот факт, что в положении относительного равновесия все главные оси инерции параллельны базисным векторам . Теперь необходимо было бы исследовать устойчивость этих положений равновесия. Однако мы не будем здесь это делать и отсылаем читателя к монографиям Магнуса [6] и Белецкого [16].

Вернемся теперь к уравнениям движения (5.66), в которых даются выражениями (5.68) и (5.69) соответственно. Прежде всего рассмотрим сумму Подставим вместо выражение (см. (5.54)), тогда получим

Член, включающий в себя равен нулю, поскольку выполняется соотношение (см. (5.20)). Оставшееся выражение можно переписать в виде

Первый член содержит сумму . Если бы не отсутствие знаков дифференцирования, она совпадала бы с величиной в (5.55). В случае величина была приведена к форме (5.56). Воспользуемся здесь той же самой последовательностью рассуждений, тогда получим

В случае сумма обращается в нуль. Второй член в соотношении (5.71) содержит сумму которая отличается от

только что рассмотренной лишь символом умножения. Аналогичным образом можно снова использовать рассуждения, которые приводят от формулы (5.55) к формуле (5.56); они дают

Подставив это выражение и выражение (5.72) в (5.71), получим соотношение

Первый член можно объединить с моментом силы , что дает

или, поскольку равно йулюв

Сравнивая с соотношением (5.58), заключаем, что выражение в квадратных скобках представляет собой центральный тензор инерции дополненного тела Поэтому все выражение равно просто Подставив его, а также второй член правой, части равенства (5.73) в уравнение движения (5.66), получим

Чтобы вывести теперь условия относительного равновесия, положим Для тогда имеем

Тройное векторное произведение в левой части запишем с целью дальнейшего упрощения в виде

Второй член этого выражения приводит к сумме , входящей в левую часть условий равновесия. Такое же выражение появляется также и в правой части. Их можно взаимно уничтожить, в результате чего приходим к уравнению

в котором В — тензор:

Необходимо отметить, что тензор В содержит векторы, которые фиксированы относительно разных тел. Поэтому координаты тензора в векторном базисе, неизменно связанном с телом не являются постоянными. Только что найденные условия равновесия можно рассматривать со следующей точки зрения. Как уже упоминалось, на несущем теле вектор момента количеств относительного движения имеет постоянные координаты в векторном базисе, неизменно связанном с этим несущим телом. Предполагается, что на каждом несущем теле имеются по меньшей мере три ротора, оси которых не все параллельны одной плоскости. Тогда подходящим выбором угловых скоростей роторов относительно несущего тела возможно придать любые величину и направление в неизменно связанном с несущим телом векторном базисе.

Векторы оказывают влияние на положения относительного равновесия. Отсюда возникает следующий вопрос. Возможно ли выбрать таким образом, чтобы система обладала положением относительного равновесия с определенными заранее заданными характеристиками? Практическую значимость этой задачи можно показать на следующем примере. Предположим, что спугник, на одном из тел которого установлена камера, движется по круговой орбите. В результате изменений в распределении масс системы, вызванных расходом топлива, оказалось нарушено первоначальное положение относительного

равновесия. Это явилось причиной отклонения оси камеры от ее номинального вертикального направления. Желательно было бы изменить параметры системы так, чтобы возникло новое положение относительного равновесия, в котором ось камеры снова заняла бы свое номинальное направление. Единственными параметрами, которые могут быть изменены по команде с Земли, являются относительные угловые скорости роторов. Чтобы найти ответ на поставленный вопрос, разрешим условия равновесия относительно Используя обозначения

приведем уравнения (5.74) к виду

Отсюда заключаем, что , а также ортогональны . Поэтому можно представить в общем виде

с неизвестными пока множителями . Кроме того, имеет место уравнение которое запишем, принимая во внимание (5.76), в виде

Первый член равен нулю, поскольку совпадают два множителя произведения. Оставшуюся часть можно переписать в виде

или, используя обозначения (5.76), в виде

В результате подстановки выражения (5.78) в уравнение (5.77) получаем

Следовательно, равно единице для принимает вид

Это искомое явное выражение. Оно содержит свободный параметр Вектор представляет собой компоненту вектора в направлении орбитальной угловой скорости Указанный факт объясняет, почему не влияет на положения относительного равновесия. Система уравнений (5.79) совместно с соотношениями (5.80) эквивалента исходным условиям равновесия (5.74). Каждое положение относительного равновесия является решением уравнений (5.74). Наоборот, каждое решение уравнений (5.79)

определяет положение относительного равновесия, и каждому такому решению соответствуют векторы которые задаются соотношениями (5.80). Следовательно, необходимо решать только уравнения (5.79). Принимая во внимание (5.76) и (5.75), запишем вектор таким образом:

Предположим теперь, что в каждом несущем теле ось, имеющая произвольное направление, определяется единичным векто ром, фиксированным относительно несущего тела, а также что все единичных векторов ориентированы параллельно базисному вектору по направлению местной вертикали. Это не определяет еще однозначно положение системы в орбитальной системе координат. Каждое несущее тело может быть повернуто вокруг на произвольный угол. Эти углов не оказывают влияния на проекции фиксированных относительно тел векторов на направление и не влияют на координаты вектора в векторном базисе, неизменна связанном с телом Отсюда следует, что при таких поворотах вокруг вектор остается неподвижным относительно несущего тела На каждом несущем теле имеется один такой вектор. Предположим сначала, что имеет место общий случай, в котором ни один из этих векторов не равен нулю и не параллелен Тогда можно удовлетворить всем уравнениям (5.79), выбрав пока неопределенные углы поворотов так, чтобы вектор на каждом несущем теле был перпендикулярен Таким способом определяются два положения для каждого тела и, следовательно, различных положений для всей системы. Каждое из них представляет собой положение относительного равновесия при условии, что векторы выбраны согласно равенствам (5.80). В вырожденном случае, когда для одного или нескольких тел вектор равен нулю либо параллелен решение очевидно. Уравнения (5.79) для этих особенных тел удовлетворяются независимо от угла поворота вокруг Каждое такое тело имеет бесконечное число положений относительного равновесия. Все остальные имеют, как и прежде, по два положения относительного равновесия.

Только что полученный результат можно суммировать следующим образом. Существуют, вообще говоря, различных положений относительного равновесия (бесконечное число в вырожденных случаях), которые удовлетворяют требованию, чтобы произвольно выбранных осей, по одной в каждом несущем телег были параллельны местной вертикали. Векторы отвечающие каждому такому положению, определяются в явном

виде равенствами (5.80). Необходимый анализ устойчивости здесь не приводится. В связи с этим мы отсылаем читателя к работе Виттенбурга и Лилова [17]. Следует только напомнить, что в анализе устойчивости свободные параметры играют существенную роль.

Задача

5.11. Составьте выражения для кинетической и потенциальной энергий спутника, рассмотренного в данном разделе.