5.3.2.3. Критерии выбора приведенной системы

В этом пункте мы вернемся к самому началу разд. 5.3. Пока еще не было сказано, каким критерием нужно пользоваться для построения приведенной системы из заданной системы с замкнутыми кинематическими и некинематическими цепями. Другими словами, каким образом следует выбирать шарниры, которые должны разрезаться? Число шарниров, которые должны быть разрезаны, не зависит от выбора конкретной приведенной системы, так как оно равно разности двух заданных чисел. Одно есть полное число шарниров в данной системе и другое — число шарниров в приведенной системе, которое равно числу тел (не считая тела 0). Очевидно, что выписывание уравнений связей и последующее построение матриц требует большой работы, которая должна выполняться пользователем предлагаемого формализма для каждой конкретной системы отдельно. Обычно каждое уравнение связи зависит от большого числа обобщенных координат, так что для производных по формулам (5.192) — (5.194) получаются громоздкие выражения. По сравнению с этим проще раскрываются выражения для сил и моментов, из которых образуются матрицы X и Y в формуле (5.213), потому что каждая сила и момент относятся к одному разрезанному шарниру.

Следовательно, можно заключить, что в принципе среди разрезанных шарниров должно быть как можно больше шарниров без связей. Иными словами, в замкнутых некинематических цепях нужно разрезать шарниры без связей. В замкнутых кинематических цепях приходится разрезать шарниры со связями. По поводу выбора этих шарниров можно сказать следующее. Полное число степеней свободы системы с замкнутыми кинематическими цепями

есть заданное число. Оно равно разности между полным числом степеней свободы приведенной системы и полным числом связей во всех разрезанных шарнирах. Оба числа, и зависят от выбора разрезаемых шарниров.

С точки зрения уменьшения подготовительной работы, требуемой для явного вычисления матриц Я, Ф и по формулам (5.189), (5.198), (5.199) и (5.196), желательно уменьшить, насколько возможно, число . С точки зрения времени, требуемого для вычисления и обращения матриц желательно уменьшить, насколько возможно, как так и . Так как фиксировано, то число может быть минимизировано вместе с Отсюда делаем вывод, что разрезаемые шарниры следует выбирать так, чтобы полное число связей в этих шарнирах было минимальным. Этот критерий, вообще говоря, еще оставляет выбор, который может быть определен с какой-нибудь другой точки зрения. И он становится бесполезным, если, например, все шарниры, подходящие для разрезания, имеют одинаковое число связей.

Иллюстративный пример 5.3 На рис. 5.46 показана система, состоящая из шести тел, пронумерованных от 0 до 5. Тела 0, 2 и 4 являются одинаковыми, и тела 1, 3, 5 одинаковые. Более того, тело 1 есть зеркальное отображение тела 0. Тела связаны шестью цилиндрическими шарнирами, пронумерованными от 1 до 6, образуя замкнутую кинематическую цепь. На оси каждого шарнира установлены торсионная пружина и демпфер, постоянные коэффициенты которых обозначены через соответственно . В положении, показанном на рис. 5.46, в котором система описывает куб со стороной, равной единице, все пружины находятся в ненапряженном состоянии. Определить полное число степеней свободы системы и выписать уравнения движения.

Решение. На первый взгляд не ясно, будет ли вообще система иметь хоть сколько-нибудь степеней свободы. Для решения этой части задачи и подготовки к составлению требуемых в конечном счете уравнений движения разрежем шарнир 6. В результате получается система со структурой дерева (приведенная система) с пятью степенями свободы, по одной в каждом из шарниров 1—5. В телах фиксируем векторные базисы . В конфигурации, показанной на рисунке (называемой кратко кубической конфигурацией), все векторные базисы ориентированы параллельно друг другу, а все базисные векторы параллельны ребрам куба.

Введем теперь обобщенные координаты для неразрезанных шарниров следующим образом. Направления дуг в графе выберем, как показано на рис. 5.47. При величину определим

как угол, на который тело поворачивается относительно тела в положительном направлении вокруг фиксированного в теле базисного вектора, проходящего через ось шарнира а. В кубической конфигурации все углы равны нулю. Для матриц преобразования определяемых соотношением (5.85), рис. 5.46 дает выражения

Рис. 5.46. Замкнутая кинематическая цепь с шестью цилиндрическими шарнирами. Тело 0 фиксировано в инерциальном пространстве.

Рис. 5.47. Ориентированный граф системы, изображенной на рис. 5.46. В приведенной системе разрезан шарнир 6.

Разрезанный шарнир имеет одну степень свободы. Следовательно, должно быть записано пять уравнений связей. Их число равно числу степеней свободы приведенной системы, так что если бы эти пять связей были независимы, то замкнутая система имела бы нуль степеней свободы. Три связи следуют из условия, что точка на теле 5 совпадает с точкой на теле 0 (см. рис. 5.46). Это выражается уравнением — Скалярная форма этого уравнения будет наиболее простой, если

векторы раскладывать в либо в . Выбирая получим

или в явной форме

Оставшиеся две связи выражают требование, что базисные векторы и ортогональны к Это означает, что элементы матрицы с индексами и должны быть нулями, или в явной форме

Полученные пять уравнений связей можно существенно упростить, если заметить, что они должны быть совместны со следующими тремя уравнениями связей, которые выполняются в силу симметрии:

С учетом этих соотношений уравнения (5.215) — (5.219) можно привести к виду (в том же порядке)

Все уравнения удовлетворяются при условии

Вместе с уравнениями (5.220) оно дает четыре независимые связи. Таким образом, рассматриваемая замкнутая кинематическая цепь имеет одну степень свободы. Из уравнения (5.221) можно извлечь некоторую важную информацию. Соотношение графически представлено на рис. 5.48. Из условий следует, что . Отсюда можно заключить, что система

будет двигаться без столкновений смежных тел при условии, что угол у на рис. 5.46 не превышает 30°.

Выпишем далее уравнения движения (5.204). Матрицы А и 5 для приведенной системы вычисляются по формулам (5.171) и (5.172). Так как все шарниры цилиндрические, то эти формулы совпадают с (5.98) и (5.99). Все величины, необходимые для их вычисления, определены. Матрица А имеет пять строк и столбцов. Остается построить матрицы . Матрица Н является якобианом уравнений связей . Она имеет вид

Рис. 5.48. Зависимость между обусловленная связями в замкнутой кинематической цепи.

Легко проверить, что Н имеет полный ранг, равный числу строк для всех значений Следовательно, обратная матрица в (5.203) существует. Элементы матрицы вычисляются по формуле (5.198), в которой члены определяются из (5.193) как часть второй производной не содержащая . В результате получаем

Матрица равна нулю, так как все связи стационарные.

Начальные условия для должны удовлетворять всем четырем уравнениям связей, а также уравнению

(5.195). Рассмотрим теперь матрицу 5. В разрезанном шарнире действует только момент . Следовательно, формула (5.213) имеет вид . Из рис. 5.47 находим откуда получаем и так какр есть диагональная -матрица с элементами вдоль диагонали, .

Момент действует на тело 0 вокруг оси Пусть — угол поворота тела 0 относительно тела 5 вокруг указанной оси и в кубической конфигурации. Тогда момент равен . Если бы свойства симметрии системы были бы неизвестны, то нужно было бы выражать через обобщенные координаты и скорости следующим образом. Матрица преобразования определяемая соотношением имеет вид

Согласно (5.210), она связана с обобщенными координатами соотношением Следовательно, находится как арксинус элемента этой матрицы с индексами . Вектор дает угловую скорость тела 0 относительно тела . Формула (5.211) связывает ее с обобщенными координатами и скоростями

Полученные выражения для должны быть подставлены в выражение для . В данном случае свойства симметрии позволяют записать значительно более простые соотношения для . Элемент матрицы с индексами равен согласно откуда следует . Вместе с (5.214), (5.220) и (5.221) это дает

Пусть ребро куба на рис. 5.46 равно и пусть тела являются однородными плотности Тогда центр масс тела 0 имеет в координаты где через а обозначен . Масса тела 0 равна и его центральная матрица инерции в базисе

имеет вид

Иллюстративный пример 5.4. Составить уравнения движения стола с тремя ножками, показанного на рис. 5.49,а. На конце каждой ножки имеется колесо, удерживаемое в вертикальном положении посредством вилки, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси, фиксированной в ножке (рис. 5.49,б). Предполагается, что колеса находятся в постоянном контакте с землей и что они катятся без проскальзывания. Угловая скорость одного из колес относительно вилки задается как функция времени что приводит к нестационарной связи. Следует принять во внимание массы как вилок, так и колес.

Рис. 5.49. Неголономная система, состоящая из семи тел (а). Каждое колесо установлено в вилке, которая свободно поворачивается вокруг вертикальной оси в ножке стола (б).

Решение. Построим сначала приведенную систему, которая отличается от заданной только тем, что в ней устранены неголономные связи в точках касания колес о землю. Схематичное представление показано на рис. 5.50,а. Плоскость стола (тело 1)

связывается с землей (тело 0) трехстепенным шарниром, который допускает поступательное перемещение плоскости стола в плоскости, фиксированной в теле 0, и вращение вокруг нормали к этой плоскости. Соответствующий ориентированный граф изображен на рис. 5.50,б.

Фиксированные в телах векторные базисы определим следующим образом. В телах базисные векторы направлены вертикально вверх. В телах базисные векторы параллельны соответствующим осям колес.

Рис. 5.50. а — приведенная система для системы, изображенной на рис. 5.49, и б — ее ориентированный граф.

В телах базисные векторы направлены, как показано на рис. 5.49, б. Ориентация остальных базисных векторов может быть выбрана произвольно.

Введем теперь обобщенные координаты. В шарнире 1 — декартовы координаты центра стола вдоль соответственно и угол поворота тела 1 относительно тела 0 вокруг . В шарнирах — угол поворота тела (вилка) относительно тела (тело 1) вокруг . В шарнирах и — угол поворота тела (колесо) относительно тела (вилка) вокруг Координаты равны нулю для некоторого произвольно определенного положения тела 1, а равны нулю для некоторых произвольно определенных положений колес относительно вилок. Координаты равны нулю, когда базисные векторы направлены радиально от центральной вертикальной оси стола.

Одна из девяти степеней свободы системы исключается нестационарной связью, согласно которой угловая скорость одного колеса, скажем тела 3, относительно его вилки (тело 2) является заданной функцией времени. Это означает, что являются известными функциями

времени. Формула (5.116) для шарнира 3 принимает вид Это означает, что в третий столбец матрицы определяемой формулой (5.126), ничего не входит в то время как матрица в (5.129) имеет вид .

С описанными таким образом величинами и при заданных числовых значениях размеров тел, их масс и моментов инерции матрицы А и В из (5.171) и (5.172) для приведенной системы являются полностью определенными функциями восьми независимых координат их первых производных по времени и времени Уравнения для полной системы, включающей неголономные связи, имеют форму уравнений (5.204).

Рис. 5.51. Кинематика узла «вилка-колесо»

Матрицы определим теперь из уравнений связей. Эти уравнения, которые необходимо составить в первую очередь, имеют форму уравнений (5.184). Достаточно рассмотреть только одно колесо, скажем тело 3. Для двух других колес уравнения получаются перестановкой переменных. На рис. 5.51 показаны тела 1, 2 и 3, базис отсчета. фиксированный в инерциальном пространстве, базисные векторы базисов фиксированные в телах, углы скорости и угловые скорости Величина позднее будет заменена на Кроме того, указаны величины , которые определяют расположение оси вилки и центра колеса. Радиус колеса обозначен через Связи требуют, чтобы абсолютная скорость точки контакта колеса о землю не имела компонент вдоль Из рисунка следует выражение для

Определение скалярных произведений оба должны равняться нулю, является делом простой алгебры. Искомые уравнения связей имеют вид

Для получения уравнений связей для других колес нужно заменить на соответственно и и соответственно. Далее заменяется на так что уравнения связей содержат восемь обобщенных скоростей. Член является функцией из (5.184). -матрице Н каждая строка соответствует одному уравнению связи и содержит в качестве элементов коэффициенты при всех восьми обобщенных скоростях Матрица определяется формулой (5.199). Члены уже известны. Оставшиеся члены находятся из (5.194) как те части функций которые не зависят от вторых производных обобщенных координат. Например, первые два элемента матрицы Ф имеют вид

Матрица в уравнении (5.195) равна .

Иллюстративный пример 5.5. Антропоморфная фигура, состоящая из десяти тел (голова, туловище, руки и ноги, образованные из двух тел каждая), совершает движение в плоскости. Угол между базисным вектором фиксированным в инерциальном пространстве, и базисным вектором фиксированным в теле используется в качестве обобщенной координаты, описывающей ориентацию тела Все углы равны нулю, когда фигура находится в вертикальном положении, ступни составлены вместе, колени и локти вытянуты. Составить дифференциальные

уравнения для фазы движения, в которой обе ноги опираются на землю на расстоянии друг от друга. На рис. 5.52 показаны эта система, нумерация тел и размеры ног.

Рис. 5.52. Плоская антропоморфная фигура с опорой на землю на две ноги.

Решение. Разрежем шарнир между передней ногой и землей. Получившаяся приведенная система со структурой дерева имеет шарниры только цилиндрические, и одно из ее тел связано с внешним телом, движение которого задано (внешнее тело представляет собой землю и покоится в инерциальном пространстве). Плоское движение приведенной системы описывается уравнением (5.37). В разд. 5.2.8 было показано, что уравнения движения из разд. 5.2.3 имеют частный вид общих уравнений, полученных из принципа Даламбера. Для уравнений (5.37) этот принцип имеет вид

Уравнения связей учитываются обычным образом. Следовательно, уравнения для полной системы, изображенной на рис. 5.52, записываются в виде (ср. уравнение (5.204))

где

Матрицы в этом уравнении те же, что в уравнении (5.37). Матрица В соответствует внутренним силам и моментам (отличным от сил и моментов реакций связей) в разрезанном шарнире. Матрицы Н и Ф определяются связями в разрезанном шарнире. При помощи величин, определенных на рис. 5.52, эти связи записываются в виде

Матрица размером (2 X 10) содержит ненулевые элементы только в первых четырех столбцах. Они имеют вид

Матрица-столбец состоит из двух элементов, которые в соответствии с (5.198) равны