Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.3.2.3. Критерии выбора приведенной системыВ этом пункте мы вернемся к самому началу разд. 5.3. Пока еще не было сказано, каким критерием нужно пользоваться для построения приведенной системы из заданной системы с замкнутыми кинематическими и некинематическими цепями. Другими словами, каким образом следует выбирать шарниры, которые должны разрезаться? Число Следовательно, можно заключить, что в принципе среди есть заданное число. Оно равно разности С точки зрения уменьшения подготовительной работы, требуемой для явного вычисления матриц Я, Ф и Иллюстративный пример 5.3 На рис. 5.46 показана система, состоящая из шести тел, пронумерованных от 0 до 5. Тела 0, 2 и 4 являются одинаковыми, и тела 1, 3, 5 одинаковые. Более того, тело 1 есть зеркальное отображение тела 0. Тела связаны шестью цилиндрическими шарнирами, пронумерованными от 1 до 6, образуя замкнутую кинематическую цепь. На оси каждого шарнира установлены торсионная пружина и демпфер, постоянные коэффициенты которых обозначены через Решение. На первый взгляд не ясно, будет ли вообще система иметь хоть сколько-нибудь степеней свободы. Для решения этой части задачи и подготовки к составлению требуемых в конечном счете уравнений движения разрежем шарнир 6. В результате получается система со структурой дерева (приведенная система) с пятью степенями свободы, по одной в каждом из шарниров 1—5. В телах фиксируем векторные базисы Введем теперь обобщенные координаты для неразрезанных шарниров следующим образом. Направления дуг в графе выберем, как показано на рис. 5.47. При как угол, на который тело
Рис. 5.46. Замкнутая кинематическая цепь с шестью цилиндрическими шарнирами. Тело 0 фиксировано в инерциальном пространстве.
Рис. 5.47. Ориентированный граф системы, изображенной на рис. 5.46. В приведенной системе разрезан шарнир 6. Разрезанный шарнир имеет одну степень свободы. Следовательно, должно быть записано пять уравнений связей. Их число равно числу степеней свободы приведенной системы, так что если бы эти пять связей были независимы, то замкнутая система имела бы нуль степеней свободы. Три связи следуют из условия, что точка векторы раскладывать в
или в явной форме
Оставшиеся две связи выражают требование, что базисные векторы и
Полученные пять уравнений связей можно существенно упростить, если заметить, что они должны быть совместны со следующими тремя уравнениями связей, которые выполняются в силу симметрии:
С учетом этих соотношений уравнения (5.215) — (5.219) можно привести к виду (в том же порядке)
Все уравнения удовлетворяются при условии
Вместе с уравнениями (5.220) оно дает четыре независимые связи. Таким образом, рассматриваемая замкнутая кинематическая цепь имеет одну степень свободы. Из уравнения (5.221) можно извлечь некоторую важную информацию. Соотношение будет двигаться без столкновений смежных тел при условии, что угол у на рис. 5.46 не превышает 30°. Выпишем далее уравнения движения (5.204). Матрицы А и 5 для приведенной системы вычисляются по формулам (5.171) и (5.172). Так как все шарниры цилиндрические, то эти формулы совпадают с (5.98) и (5.99). Все величины, необходимые для их вычисления, определены. Матрица А имеет пять строк и столбцов. Остается построить матрицы
Рис. 5.48. Зависимость между Легко проверить, что Н имеет полный ранг, равный числу строк
Матрица Начальные условия для (5.195). Рассмотрим теперь матрицу 5. В разрезанном шарнире действует только момент Момент
Согласно (5.210), она связана с обобщенными координатами
Полученные выражения для
Пусть ребро куба на рис. 5.46 равно имеет вид
Иллюстративный пример 5.4. Составить уравнения движения стола с тремя ножками, показанного на рис. 5.49,а. На конце каждой ножки имеется колесо, удерживаемое в вертикальном положении посредством вилки, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси, фиксированной в ножке (рис. 5.49,б). Предполагается, что колеса находятся в постоянном контакте с землей и что они катятся без проскальзывания. Угловая скорость одного из колес относительно вилки задается как функция времени
Рис. 5.49. Неголономная система, состоящая из семи тел (а). Каждое колесо установлено в вилке, которая свободно поворачивается вокруг вертикальной оси в ножке стола (б). Решение. Построим сначала приведенную систему, которая отличается от заданной только тем, что в ней устранены неголономные связи в точках касания колес о землю. Схематичное представление показано на рис. 5.50,а. Плоскость стола (тело 1) связывается с землей (тело 0) трехстепенным шарниром, который допускает поступательное перемещение плоскости стола в плоскости, фиксированной в теле 0, и вращение вокруг нормали к этой плоскости. Соответствующий ориентированный граф изображен на рис. 5.50,б. Фиксированные в телах векторные базисы определим следующим образом. В телах
Рис. 5.50. а — приведенная система для системы, изображенной на рис. 5.49, и б — ее ориентированный граф. В телах Введем теперь обобщенные координаты. В шарнире 1 — декартовы координаты Одна из девяти степеней свободы системы исключается нестационарной связью, согласно которой угловая скорость времени. Формула (5.116) для шарнира 3 принимает вид С описанными таким образом величинами и при заданных числовых значениях размеров тел, их масс и моментов инерции матрицы А и В из (5.171) и (5.172) для приведенной системы являются полностью определенными функциями восьми независимых координат
Рис. 5.51. Кинематика узла «вилка-колесо» Матрицы
Определение скалярных произведений
Для получения уравнений связей
Матрица Иллюстративный пример 5.5. Антропоморфная фигура, состоящая из десяти тел (голова, туловище, руки и ноги, образованные из двух тел каждая), совершает движение в плоскости. Угол уравнения для фазы движения, в которой обе ноги опираются на землю на расстоянии
Рис. 5.52. Плоская антропоморфная фигура с опорой на землю на две ноги. Решение. Разрежем шарнир между передней ногой и землей. Получившаяся приведенная система со структурой дерева имеет шарниры только цилиндрические, и одно из ее тел связано с внешним телом, движение которого задано (внешнее тело представляет собой землю и покоится в инерциальном пространстве). Плоское движение приведенной системы описывается уравнением (5.37). В разд. 5.2.8 было показано, что уравнения движения из разд. 5.2.3 имеют частный вид общих уравнений, полученных из принципа Даламбера. Для уравнений (5.37) этот принцип имеет вид
Уравнения связей учитываются обычным образом. Следовательно, уравнения для полной системы, изображенной на рис. 5.52, записываются в виде (ср. уравнение (5.204))
где
Матрицы
Матрица
Матрица-столбец
|
1 |
Оглавление
|