5.3. Системы многих тел с замкнутыми цепями и произвольными связями

Большинство систем многих тел, встречающихся в инженерной практике, имеют не структуру дерева, а структуру взаимосвязей с замкнутыми цепями. Пример такой системы приведен на рис.

5.43,а без определения кинематических свойств шарниров. Вообще говоря, система может содержать как замкнутые кинематические цепи, так и замкнутые некинематические цепи. Как указывалось в разд. 5.1, в замкнутой кинематической цепи все шарниры должны содержать кинематические связи, в то время как в замкнутой некинематической цепи найдется по крайней мере один шарнир без связей.

Рис. 5.43. Система с замкнутыми цепями (а) и соответствующая приведенная система со структурой дерева (б). Шарниры с произвольными связями указаны буквой .

В этом разделе будут рассматриваться не только голономные, но и неголономные связи. Для установления уравнений движения таких систем можно использовать результаты предыдущих исследований. Шарниры всегда можно разрезать таким образом, что получится система со структурой дерева. Очевидно, это можно сделать различными способами. Критерии выбора отдельных систем со структурой дерева будут ясны позже. В данный момент выберем их произвольно. На рис. 5.43,б изображена одна из возможных систем со структурой дерева, которая получается из системы на рис. 5.43,а. Если эта система со структурой дерева имеет только голономные связи, то она называется приведенной системой. В противном случае строится другая система со структурой дерева, которая получается из данной устранением всех неголономных связей. Тогда эта новая система называется приведенной системой. Сначала мы будем рассматривать только приведенные системы. Позднее все связи и все внутренние шарнирные силы (существующие помимо реакций связей), которые были исключены в процессе построения приведенной системы, будут введены вновь. Таким образом, мы снова придем к первоначальной системе с замкнутыми цепями.

Уравнения движения приведенной системы легко устанавливаются с помощью результатов, полученных в разд. 5.2.8. Ясно, что уравнения (5.171) — (5.173), вообще говоря, непосредственно неприменимы. Причина заключается в том, что они справедливы

только для таких систем со структурой дерева, в которых внешнее тело, движение которого задается как функция времени, связано только с одним телом системы. Сейчас этого нельзя предполагать. Допустим, например, что на рис. 5.43,а задано движение тела, обозначенного как тело 0. Приведенная система, изображенная на рис. 5.43,б, разделяется телом 0 на три динамически независимые подсистемы, каждая из которых связана с телом 0 одним шарниром. Каждая подсистема описывается уравнениями движения, которые можно записать в форме где индекс к относится к подсистеме, а задаются формулами (5.171) и (5.172) соответственно. Отсюда следует, что уравнения движения всей приведенной системы имеют вид

где — общее число независимых подсистем (в нашем примере три). Наличие индексов тел, шарниров и обобщенных координат делает запись уравнений громоздкой. Тела и шарниры должны идентифицироваться двумя индексами, а именно индексом отдельной подсистемы и индексом внутри подсистемы. Границы вторых индексов различны для различных подсистем. Для обобщенных координат необходим третий индекс. При исследовании влияния, оказываемого разрезанием шарниров на динамику полной системы, указанная трудность оказывается особенно неблагоприятной. По этой причине вводится новая нумерация тел и шарниров, в которой рассматривается сразу вся система. Новая нумерация приводит естественным образом к обобщениям понятий теории графов, рассмотренным в разд. 5.2.1.