2. Кинематика твердого тела

2.1. Обобщенные координаты угловой ориентации твердого тела

Для задания угловой ориентации твердого тела в векторном базисе достаточно задать угловую ориентацию векторного базиса жестко связанного с телом. Это можно сделать, например, при помощи матрицы направляющих косинусов:

Девять элементов этой матрицы являются обобщенными координатами, которые описывают угловую ориентацию тела в базисе . Между этими координатами существует шесть уравнений связей вида

Часто неудобно работать с девятью координатами и шестью уравнениями связей. Имеется несколько удобных систем трех координат без уравнений связей и четырех координат с одним уравнением связи, которые можно использовать вместо направляющих косинусов. В следующих разделах рассматриваются обобщенные координаты, известные как угли Эйлера, угли Брайнта и параметры Эйлера.

2.1.1. Углы Эйлера

Угловая ориентация базиса жестко связанного с телом, осуществляется в результате трех последовательных поворотов. В исходном положении базис совпадает с базисом Первый поворот выполняется вокруг оси на угол Он переводит базис из его начального положения в положение, обозначенное символом (рис. 2.1). Второй поворот на угол вокруг оси переводит его в положение, обозначенное символом Третий поворот на угол вокруг оси приводит к конечной ориентации базиса. На рис. 2.1 она обозначена символом Отличительная особенность углов Эйлера состоит в том, что каждый поворот выполняется вокруг базисного вектора базиса, жестко связанного с телом, в положении, которое является результатом

всех предыдущих поворотов. Другой особенностью является последовательность (3, 1, 3) индексов осей поворотов. Требуемое выражение матрицы преобразования через находится из уравнений преобразования для отдельных поворотов, которые в соответствии с рис. 2.1 даются формулами

где

Отсюда следует, что или в явном виде с сокращенными обозначениями и для для соответственно

Рис. 2.1. Углы Эйлера

Преимущество наличия лишь трех координат без уравнений связей оплачивается тем неудобством, что направляющие косинусы являются сложными круговыми функциями. Имеется, однако, и другая проблема. Рис. 2.1 показывает, что в случае оси первого и третьего поворотов совпадают, так что нельзя отличить один от другого. Углы Эйлера можно проиллюстрировать на примере твердого тела в двухрамочном кардановом подвесе. Базисы связаны соответственно с неподвижным

основанием и подвешиваемым телом, как показано на рис. 2.2. Углы в данном порядке представляют собой угол поворота внешней рамки относительно неподвижного основания, внутренней рамки относительно внешней и тела относительно внутренней рамки.

Рис. 2.2. Углы Эйлера для карданова подвеса.

Для плоскости двух рамок совпадают (схлопывание рамок). Этим механизмом все три угла можно регулировать независимо, поскольку вспомогательные векторные базисы материально реализованы рамками. Практическое значение углов Эйлера обусловлено тем обстоятельством, что существует много технических систем, в которых твердое тело движется так, что строго или приближенно сохраняет постоянное значение, а оба угла строго или приближенно пропорциональны времени, т. е. и .

Использование углов Эйлера удобно также всякий раз, когда существуют две оси частного физического значения: одна, неподвижная в базисе и другая, неподвижная в теле. В таких случаях базисные векторы и задают эти направления, так что — угол между двумя указанными осями (пример такого типа будет рассмотрен в разделе 4.1.4). Однако использование углов Эйлера в качестве обобщенцых координат не ограничивается такими случаями.

Иногда необходимо вычислить углы Эйлера, которые соответствуют заданной матрице . Для этой цели служат следующие

формулы, получаемые из (2.2):

Формулы показывают, что численные трудности возникают для значений , близких к критическим значениям .