6. Задачи удара в голономных системах многих тел

Предыдущая глава была посвящена математическому описанию непрерывного движения системы многих тел. В противоположность этому в настоящей главе исследуется случай, в котором система испытывает разрывные изменения скоростей и угловых скоростей. Такие явления имеют место, когда система многих тел соударяется с другим телом или с другой системой многих тел или когда два тела одной и той же системы соударяются друг с другом. Типичные примеры приведены на рис. 6.1. Реальные физические процессы, происходящие во время удара, весьма сложны. Чтобы представить задачу в виде, удобном для математического описания, необходимо сделать некоторые упрощающие предположения. Будут ли они приемлемыми, нужно решать в каждом конкретном случае применения основанного на них формализма. Эти предположения касаются динамического поведения тел под действием импульсивных сил и, в частности, явлений, происходящих в непосредственной окрестности точки соударения. Здесь они такие же, как и в классической постановке задачи удара двух абсолютно твердых тел. Кроме того, делаются некоторые предположения о природе связей в шарнирах, которые не выходят за рамки предыдущей главы.

Рис. 6.1. Соударение между двумя системами (а) и внутри одной системы (б).

6.1. Основные предположения

Относительно поведения тел постулируется, что удар происходит за столь короткий промежуток времени что при математическом описании возможна идеализация Это означает, что распространение волн деформаций и напряжений в телах не учитывается, так как такие процессы требуют конечного периода времени. Следовательно, все тела системы во время удара рассматриваются как абсолютно твердые. Ввиду конечности скоростей и угловых скоростей, положения и угловые ориентации тел в течение бесконечно малого времени удара остаются неизменными. Пружины, демпферы и другие подобные элементы в шарнирах не играют никакой роли, так как они создают силы и моменты конечной величины, интегралы от которых по времени от до при бесконечно малом промежутке времени равны нулю. Разрывные изменения скоростей и угловых скоростей могут вызываться только импульсивными силами. Сила называется импульсивной, если интеграл стремится при к конечной величине . Чтобы это было возможно, величина должна стремиться к бесконечности на интервале от до при Величина называется импульсом. Импульсы действуют в точке соударения, а также в шарнирах с кинематическими связями. Аналогично определяется импульсная пара как предел интеграла от импульсивного момента.

После этих замечаний об упрощающих предположениях, касающихся поведения тел, обсудим некоторые идеализации процессов, происходящих в точке соударения. В объеме, окружающем эту точку, происходят упругие и (или) пластические деформации. Предполагается, что этот объем имеет бесконечно малые размеры, так что предыдущие предположения об абсолютно твердом теле и о бесконечно коротком времени удара не нарушаются. Будем различать два случая.

Случай (i). Деформации идеально пластические, и непосредственно после удара соударяющиеся тела имеют в точке соударения нулевые относительные скорости.

Случай (ii). Импульсивные силы взаимодействия между соударяющимися телами направлены нормально к общей касательной плоскости в точке соударения, т. е. между телами отсутствует трение.

Случай (ii) охватывает целое семейство случаев в зависимости от того, будет ли деформация тел чисто пластическим сжатием

или за фазой сжатия последует фаза полного или частичного восстановления. Пусть импульс, с которым одно из соударяющихся тел действует на другое в течение фазы сжатия. Определим параметр называемый коэффициентом восстановления и равный отношению импульса в фазе восстановления к . Тогда полный импульс за время удара будет равен

Параметр равен нулю при чисто пластическом сжатии и единице при чисто упругом. Для промежуточного случая он находится в пределах

Как уже говорилось, пружины и демпферы в шарнирах между телами не влияют на конечные приращения скоростей и угловых скоростей за время удара. Важны только кинематические связи, так как они вызывают в шарнирах внутренние импульсы и импульсные пары. В этой главе мы ограничимся рассмотрением только голономных связей. Они имеют общую форму

где — произвольные обобщенные координаты. Дифференцирование по времени дает

Производные и представляют собой в общем случае функции от и . Так как эти переменные постоянны в течение удара, то будут постоянными и указанные производные. Выписывая последнее уравнение для моментов непосредственно после удара и непосредственно до удара и вычитая результаты, получаем

где — конечные приращения обобщенных скоростей за время удара. Это уравнение показывает, что любая голономная связь приводит к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами относительно приращений скоростей за время удара. Уравнение (6.2) применимо только при выполнении следующих условий. Во-первых, в шарнирах не должно быть люфта. Во-вторых, шарниры не должны деформироваться под действием внутренних импульсов и импульсных пар, которые возникают во время удара. Наконец, не допускается

потеря кинетической энергии в шарнирах во время удара. Это приводит, в частности, к требованию отсутствия сухого трения. Как уже было сказано выше, эти условия не выходят за рамки условий, лежащих в основе результатов предыдущей главы.