5.2.2. Системы с шаровыми шарнирами. Одно тело соединено с внешним телом, совершающим заданное движение

На рис. 5.10 показан пример системы, имеющей структуру дерева и состоящей из семи тел, отмеченных номерами от 1 до 7. Система соединена с телом номер 0, положение которого в инерциальном пространстве задано как функция времени. Все шарниры (отмеченные номерами от 1 до 7) являются шаровыми. Это значительно упрощает составление уравнений движения. Движение какого-либо из двух смежных тел относительно другого представляет собой чистое вращение с тремя степенями свободы вокруг геометрического центра связующего шарового шарнира. Эту точку будем называть шарнирной точкой. Внутренняя структура системы и нумерация тел и шарниров на рис. 5.10 такие же, как на рис. 5.8,а. Следовательно, для новой системы опять можно воспользоваться ориентированным графом системы, представленным на рис. и его функциями и , а также матрицами и Т. Удобно связать базис с телом 0 таким образом, чтобы его начало совпадало с шарнирной точкой на этом теле (см. рис. 5.10). Обозначим эту шарнирную точку через Радиус-вектор точки относительно полюса, неподвижного в инерциальном пространстве, является заданной функцией времени.

Рис. 5.10. Система с шаровыми шарнирами. Движение базиса задано.

Уравнения движения будут выведены из закона Ньютона и теоремы об изменении момента количеств движения для одного твердого тела. В качестве подготовительного шага разрежем все шарниры системы. В результате получим отдельных твердых тел. Необходимо рассматривать только тела с номерами от 1 до , поскольку для тела с номером 0 уравнения движения не требуются. Каждое из тел от 1 до подвержено действию неконкретизированных внешних сил и моментов сил, а также внутренних сил и моментов сил, которые приложены в разрезанных шарнирах, расположенных на теле. Внутренние силы являются силами реакций

кинематических связей. Они обеспечивают неподвижность каждой шарнирной точки на двух смежных телах одновременно. Моменты внутренних сил могут быть вызваны, например, вязким трением в соединениях.

Все приложенные к телу внешние силы и моменты внешних сил объединяются в главный вектор внешних сил линия действия которого проходит через центр масс тела, и главный момент внешних сил (рис. 5.11,а). Внутренние силы и моменты внутренних сил, действующие в шарнире а объединяются в главный вектор внутренних шарнирных сил линия действия которого проходит через шарнирную точку а, и главный момент внутренних шарнирных сил Верхний индекс с в указывает на то, что эта сила является реакцией связи.

Рис. 5.11. a - диаграмма свободного тела для тела ; б - соответствующий фрагмент ориентированного графа.

Примем следующее соглашение о знаке. На тело действуют сила и момент сил и соответственно на тело (а) действуют сила и момент сил . Рис. 5.11,а иллюстрирует это. На теле с номером которое изображено на этом рисунке, имеются два шарнира, помеченные буквами и с. В ориентированном графе, часть которого, относящаяся к рассматриваемому телу, показана на рис. 5.11,в, дуга выходит из вершины в то время как дуга входит в Отсюда следует, что равно . Это объясняет, почему показаны действующими на тело

Можно также сказать, что действуют силы поскольку, согласно определению (5.1), равны соответственно. Кроме того, так как равно нулю, если а является индексом шарнира, который не расположен на теле то главный вектор всех внутренних сил, действующих на это тело, представляет собой сумму . С учетом этого выражения закон Ньютона для поступательного движения тела принимает вид

Здесь — масса тела, радиус-вектор его центра масс измеряемый от неподвижной точки в инерциальном пространстве (см. рис. 5.10). Для составления уравнения момента количеств движений относительно необходимо определить радиус-векторы относительно точек приложения внутренних шарнирных сил. На рис. 5.11,а они обозначены через Первый индекс относится к телу, относительно которого вектор фиксирован, а второй индекс — к точке, в которую направлен вектор. Общее определение дадим следующим образом. Вектор есть нуль, если не равно ни ни , т. е. если шарнир а не расположен на теле . С другой стороны, есть вектор с началом в центре масс тела и концом в шарнирной точке а этого тела. Согласно этому определению, все ненулевые векторы являются фиксированными в теле векторами. Главный момент сил относительно обусловленный внутренними шарнирными силами и моментами сил (на рис. 5.11,а это ), можно теперь представить в форме Уравнение момента количеств движения с учетом последнего выражения принимает вид

где — момент количеств абсолютного движения тела относительно Системы уравнений (5.7) и (5.8) наиболее компактно записываются в матричной форме:

Различные матрицы определяются следующим образом.

(см. скан)

В уравнениях движения (5.9) и (5.10) встречаются среди прочих величин силы реакций связей Они не представляют

интереса, если исследуются только движения механической системы. Поэтому желательно исключить эти силы. Последнее можно сделать с помощью соотношения (5.6), означающего, что матрица Т является обратной для Умножив уравнение (5.9) слева на Т, получим силы реакций связей в явной форме:

После того как вектор найден из уравнений движения в виде функции времени, это выражение можно использовать для определения усилий, возникающих в шарнирах во время движений. Подставив его в уравнение (5.10), получим

Символ, обозначающий векторное произведение, поставлен справа от множителя Т. Это допустимо, поскольку Т — скалярная величина (см. задачу 1.2). Уравнение (5.12) образует систему векторных уравнений движения, т. е. систему скалярных уравнений. Это соответствует полному числу степеней свободы всей системы — три в каждом из шарниров. Форма приведенных уравнений еще непригодна для приложений, поскольку пока ничего не было сказано о кинематическом соотношении между поступательными и угловыми ускорениями, фигурирующими в членах и соответственно. Не выписывая уравнение, мы можем на основании рис. 5.10 легко представить себе, как будет выглядеть в принципе это соотношение. Например, радиус-вектор является суммой известной функции времени и двух фиксированных в теле векторов. Первый вектор соединяет с шарнирной точкой шарнира номер 5, а второй — эту точку с .

Вообще говоря, радиус-вектор тела можно представить как сумму и цепочки векторов, каждый из которых фиксирован в одном из тел, образующих путь между телами 0 и Следовательно, будет суммой и членов, содержащих упомянутые фиксированные в телах векторы, вместе с угловыми скоростями и ускорениями тел. Итак, можно выразить через известную функцию времени и величины, описывающие только вращательные движения тел. Эти же величины входят в Представим только что описанные соотношения с помощью математических формул.

На рис. 5.12 показана пара смежных тел с номерами и для некоторого шарнира . В случае одно из двух тел есть тело 0. Точка этого тела была

определена как шарнирная точка 1 (см. рис. 5.10), так что необходимо доопределить вектор

для того, чтобы можно было воспользоваться рисунком в этом случае. Для векторы также по определению являются нулевыми. После этих предварительных замечании на основании рис. 5.12 получаем уравнения

которые, учитывая (5.1), можно переписать в виде

или, принимая во внимание (5.13) и (5.11), в виде

Рис. 5.12. Векторы, используемые для описания кинематики двух смежных тел.

Эти векторных уравнений объединены в одном матричном уравнении:

в котором означает матрицу-столбец и — субматрицы матрицы инцидентности, определенные равенствами (5.2) и (5.3). Умножая это уравнение слева на и используя (5.5) и (5.6), получим для явное выражение

Введем для элементов произведения матриц сокращенные обозначения

Поскольку для данного значения все векторы фиксированы в теле вектор также фиксирован в теле . В новых обозначениях

из (5.14) получим следующее выражение для вектора

Другими словами, радиус-вектор есть сумма векторов каждый из которых фиксирован относительно другого тела Чтобы истолковать физический смысл этих векторов, перепишем равенство (5.15) в виде

где переставлены индексы и Произведения отличны от нуля только для тех дуг , которые принадлежат пути между ) и которые, кроме того, инцидентны Поэтому необходимо различать случаи . В первом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму, так что есть нуль. Во втором случае вклад дают только две дуги.

Рис. 5.13. Вектор в теле и соответствующий фрагмент ориентированного графа системы; а — случай — случай

Пусть их индексами являются , причем — дуга, предшествующая вершине (верхняя часть рис. 5.13,а). Независимо от направления этих дуг , следовательно, (см. нижнюю часть рис. 5.13,а). В третьем случае только дуга являющаяся предшествующей для делает вклад в сумму. Таким образом, путем рассуждений, использованных выше, получаем (рис. 5.13,б). На рис. 5.14 все векторы в системе, изображенной на рис. 5.10, показаны для частного случая Отличны от нуля только . Эти результаты находятся в согласии со словесным описанием, данным ранее для связи между и фиксированными в теле векторами

Подставим теперь в уравнение движения (5.12) вторую производную по времени от выражения для тогда получим

В этом уравнении векторы играют существенную роль, как видно из того, что произведение матриц в нем повторяется. Отсюда вытекает необходимость рассмотрения -матрицы . Ее элемент есть вектор:

Рис. 5.14. Векторы Отличны от нуля только

Будем различать следующие случаи: и (4) все прочие случаи. На основании свойств векторов в случае (2) в вносят вклад лишь те вершины для которых (для всех других вершин равны нулю). Для них независимо от k, совпадают с . Подобным же образом в случае (3) вносят вклад в только такие вершины для которых и для них совпадают с Наконец, в случае (4) по крайней мере один из двух векторов равен нулю. Поэтому

Для того чтобы сделать дальнейшие упрощения, введем важное понятие дополненного тела. Каждому телу системы ставится в соответствие дополненное тело, которое строится следующим образом. К концу каждого вектора неподвижного в теле присоединяется точечная масса, равная сумме масс всех тел (за исключением тела 0), которые связаны с телом либо непосредственно, либо косвенно через соответствующий шарнир а. Дадим два поясняющих примера. Для системы, изображенной на рис. 5.10, дополненное тело получается из исходного тела присоединением точечных масс к концам векторов соответственно. Дополненное тело получается присоединением к телу точечной массы расположенной на конце вектора Из определения следует, что дополненные тела являются твердыми телами и что все они имеют одну и ту же массу

полной системы. Центр масс дополненного тела , вообще говоря, не совпадает с центром масс исходного тела

Рис. 5.15. Тело с шарнирными точками 1 и 2, центром масс барицентром и векторами и

Он называется барицентром тела. На рис. 5.15 изображены тело его центр масс и барицентр а также тело 0 и другое тело не являющиеся, вообще говоря, смежными с телом Штриховыми линиями указаны пути между телами. На дополненном теле определены векторы Они начинаются в барицентре и заканчиваются в центре масс если и в конце неизменно связанного с телом вектора который ведет либо прямо, либо косвенно к телу в случае . В качестве примера на рис. 5.15 указаны векторы . Векторы играют ту же самую роль для дополненных тел, какую играют неизменно связанные с телом векторы для исходных тел. Отметим, однако, различие в обозначении. Второй индекс в является индексом шарнира, в то время как второй индекс в соответствует номеру тела. Все векторы неподвижны

относительно тел. Число различных векторов меньше числа различных комбинаций индексов . В системе рис. 5.10, например, имеют место тождества Из определения векторов следует, что они удовлетворяют уравнениям

Векторы связаны соотношением

которое легко проверить для всех возможных комбинаций индексов. (Например, в случае было показано, что равны нулю. В соответствии с этим действительно оказываются равными ) С помощью соотношений (5.20) и (5.21) выражения для в (5.19) можно далее упростить. Например, в случае имеем

(напомним, что полная масса системы). Аналогичный результат получается для суммы в случае Вместе они дают

Подставим теперь выражения (5.22) в уравнение (5.18). В этом пункте откажемся от матричной записи, заменяя уравнение снова отдельными векторными уравнениями. Они имеют вид

или в явной форме

Символ означает сумму по всем значениям , которые удовлетворяют условию, указанному после двоеточия. Два первых члена

в левой части можно объединить. Момент количеств абсолютного движения тела относительно равен интегралу , где — радиус-вектор материальной частицы измеряемый от (см. рис. 5.16), а его производная по времени . Пусть — радиус-вектор материальной частицы изображенный на рисунке. Он начинается в шарнирной точке тела ведущей к телу 0. Будем ссылаться на эту точку как на предшествующую шарнирную точку тела . Производная по времени от момента количеств движения тела относительно этой точки равна интегралу . Учитывая, что запишем его в следующем виде:

Рис. 5.16. Векторы, определяющие положение материальной частицы тела

Если к этому выражению добавить сумму то получатся два первых члена в уравнении (5.23). Отсюда ясен их физический смысл. Указанные члены представляют собой абсолютную производную по времени от момента количеств абсолютного движения дополненного тела относительно его предшествующей шарнирной точки. Сумма по к дает вклад точечных масс, присоединенных к первоначальному телу при построении дополненного тела. Отметим, что — вектор, проведенный из точки прикрепления точечной массы в предшествующую шарнирную точку. Пусть — тензор инерции дополненного тела по отношению к его предшествующей шарнирной точке. Он связан с центральным тензором инерции исходного

тела соотношением

Если, кроме того, обозначим абсолютную угловую скорость вращения тела через то можем представить два первых члена в левой части уравнения (5.23) в виде

Член уравнения (5.23), включающий в себя приводится с помощью соотношений (5.20) и (5.21) к виду

В выражении, содержащем внешние силы множитель отличен от нуля только для тех значений которые удовлетворяют соотношению Учитывая это, а также (5.25) и (5.26), преобразуем уравнения движения (5.23) к виду

Вторые производные от будут заменены позже выражениями

Уравнения допускают простую интерпретацию, если их записать в виде

где

Покажем теперь, что таким образом записывается уравнение момента количеств движения для одного твердого тела, если в честве точки, относительно которой вычисляются момент количеств

движения и момент внешних сил, выбрана неподвижная в теле точка, отличная от центра масс. Это уравнение в (3.20) было представлено в форме

где Р — неподвижный в теле полюс, — его абсолютное ускорение, — тензор инерции и момент внешних сил относительно Р и — вектор, проведенный из Р в центр масс. Уравнение (5.29) имеет эту форму, если твердое тело понимать как дополненное тело и если, кроме того, в качестве полюса Р выбрать предшествующую шарнирную точку тела. Масса тела тогда равна М и его центром масс является барицентр. Вектор, проведенный из предшествующей шарнирной точки в барицентр, есть (см. рис. 5.15). Выражение — является абсолютным ускорением полюса Р. Действительно, радиус-вектор точки Р в инерциальном пространстве есть или, принимая во внимание (5.16), совпадает с , поскольку равны нулю для . Таким образом, левая часть уравнения (5.29) имеет желаемую форму.

Рассмотрим теперь момент силы Он содержит прежде всего главный момент всех внутренних шарнирных сил, действующих на тело и момент внешних сил . Линия действия внешней силы проходит, как уже говорилось, через центр масс тела, так что — представляет собой ее момент относительно предшествующей шарнирной точки. Оставшиеся члены также имеют желаемую форму; здесь — суть векторы, выходящие из предшествующей шарнирной точки, расположенной на теле Для значений удовлетворяющих условию момент силы — можно интерпретировать следующим образом. Представим себе, что дополненное тело отделено от системы и подвешено как маятник в инерциальном пространстве в своей предшествующей шарнирной точке. На рис. 5.17 показан этот маятник, а также тела и 0 и путь между ними. Дополненное тело подвержено действию внешней силы Если теперь дополненное тело с массой М и центром масс вращается с его реальными угловыми скоростью и ускорением, то оно действует на подвес с силой . Эту силу необходимо смещать до тех пор, пока ее линия действия не пройдет через шарнирную точку на теле ведущую к телу j (точка Q на рис. 5.17).

Тогда на тело действует момент этой силы относительно точки Р. Такова физическая интерпретация последнего члена в .

Рис. 5.17. Интерпретация выражения как силы, приложенной к точке подвеса маятника.

Придадим теперь уравнению (5.27) окончательную форму, которая пригодна как для численных, так и нечисленных приложений. Подставляя выражения (5.28) и сохраняя в левой части только члены, включающие угловые ускорения, получим уравнение

где

Двойные векторные произведения в левой части выражаются как скалярные произведения тензора и вектора, например

Введем в рассмотрение новый тензор

удовлетворяющий соотношению

Тогда уравнение (5.30) можно записать в окончательной форме:

Эти дифференциальных уравнений первого порядка (эквивалентных скалярным уравнениям) необходимо дополнить другими дифференциальными уравнениями, которые связывают угловые скорости с производными по времени от обобщенных координат. В выборе таких координат имеется полная свобода. Предположим, что для описания угловой ориентации тела относительно инерциального пространства решено использовать углы Эйлера . Вследствие самой природы шаровых шарниров не существует кинематических связей между углами Эйлера различных тел. Кинематические дифференциальные уравнения представляют собой, следовательно, систем, состоящих из трех уравнений и имеющих вид уравнений (2.29), в которых величинам следует приписать индекс .

Задачи

(см. скан)