4. Классические задачи механики твердого тела

В этой главе рассматриваются некоторые из немногих задач динамики твердого тела, уравнения движения которых можно проинтегрировать в замкнутом виде. За исключением гиростата в разд. 4.7, все задачи исследуются аналогично тому, как это изложено в других книгах по механике твердого тела.

4.1. Движение по инерции несимметричного твердого тела

При отсутствии внешних моментов уравнения движения в форме уравнений (3.21) и (3.22) имеют вид

и

соответственно. Моменты инерции вычисляются относительно точки, совпадающей с центром масс тела. Например, эти уравнения применяются для небесных тел, изолированных от любых внешних моментов. Они также описывают движение тела, опертого без трения в его центре масс (если моментами сил сопротивления воздуха можно пренебречь). Такой подвес приближенно реализуется системой рамок вида, показанного на рис. 2.2. Строго говоря, эта система состоит из трех кинематически связанных тел. Тем не менее часто влиянием рамок можно пренебречь (в гл. 5 это влияние будет предметом исследования).

Уравнение (4.1) имеет два алгебраических первых интеграла, которые получаются в результате скалярного умножения на со и соответственно:

Отсюда следует, что

или в величинах, отнесенных к главным осям инерции тела,

Величины представляют собой кинетическую энергию вращения и модуль кинетического момента соответственно. В уравнении (4.4) введен параметр имеющий размерность момента инерции. Использование в качестве параметров вместо упрощает в дальнейшем запись формул. Будет рассмотрен только общий случай, когда три главных момента инерции различны. Не ограничивая общности, можно считать, что моменты инерции удовлетворяют неравенствам

Неподвижный в теле базисный вектор, направленный по главной оси, которой соответствует обозначим через . Уравнения (4.3) и (4.4) определяют два фиксированных в теле эллипсоида, представляющих собой геометрические места вектора угловой скорости Поэтому вектор принадлежит линии пересечения эллипсоидов. Эти линии называются полодиями.