Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.4. Теорема об изменении момента количеств движенияВторая аксиома Ньютона для поступательных двищений имеет своим дополнением теорему об изменении момента количеств движения — основной закон, управляющий вращательными движениями. В символической форме эта теорема записывается в виде
и читается следующим образом: абсолютная производная по времени (т. е. производная по времени в инерциальном базисе отсчета) от момента количеств абсолютного движения относительно полюса О, неподвижного в инерциальном пространстве, равна главному моменту внешних сил относительно того же самого полюса. Сначала эта теорема была сформулирована в виде аксиомы Эйлером х). Она справедлива для любой материальной системы. Ее нельзя вывести из аксиом Ньютона без введения дополнительных предположений. В частном случае системы, состоящей из одного твердого тела, характер этих предположений можно показать следующим образом. Пусть твердое тело интерпретируется конечным множеством материальных точек с массами
где
Выражение в, левой части представляет собой
Это уравнение совпадает с теоремой об изменении момента количеств движения в форме уравнения (3.15) только в том случаег если внутренние силы не изменяют результирующего момента. Эта условие выполняется, если для всех Специальная форма теоремы об изменении момента количеств движения для абсолютно твердого тела получается, если
В этом интеграле
Рис. 3.4. Система материальных точек как модель твердого тела. Точка О неподвижна в инерциальном пространстве. Вектор
В силу соотношений (3.17), выражение в квадратных скобках в первом члене равно абсолютному ускорению
(это можно проверить разложением двойных векторных произведений в обеих частях тождества). С учетом этого тождества второй интеграл станет равен
Рассмотрим далее главный момент сил
После подстановки в уравнение (3.15) этих двух выражений и учета соотношения (3.18) теорема об изменении момента количеств движения для абсолютно твердого тела принимает свой окончательный вид
Очевидно, соотношения (3.17), так же как и все последующие соотношения, остаются справедливыми, если полюс Р на рис. 3.1 не является неподвижным в теле, а движется относительно него. Единственное отличие состоит в том, что Теорема об изменении момента количеств движения принимает наиболее простой вид:
если за полюс Р принят центр масс Пусть точка Р совпадает с центром масс С. Тогда из уравнения (3.21) получаем другое полезное соотношение, заменяя момент внешних сил
где Р — произвольная точка (не обязательно неподвижная в теле), а
которое совпадает с уравнением (3.20) с тем лишь отличием, что абсолютное ускорение и тензор инерции вычисляются для другого полюса. Рассмотрим снова уравнение (3.21). Далее верхний индекс Р будем опускать. Тогда в связанном с телом базисе оно примет вид
В частности, если направить базисные векторы по главным осям инерции, то это матричное уравнение эквивалентно уравнениям
которые представляют собой уравнения Эйлера движения твердого тела. Их можно проинтегрировать в замкнутом виде лишь в нескольких частных случаях. Математические трудности возникают по двум причинам. Одна из них состоит в нелинейности левых частей уравнений. Другая заключается в том, что выражения в правых частях обычно имеют сложную структуру. Различают три типа задач. В первом и наиболее простом случае составляющие ракеты, который смонтирован на ракете и движется относительно нее согласно заданной функции времени. В таких случаях говорят, что твердое тело самовозбуждено. Все задачи, не относящиеся к этому типу, можно разделить на два класса. К первому классу относятся задачи, в которых Задача(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|