3.4. Теорема об изменении момента количеств движения

Вторая аксиома Ньютона для поступательных двищений имеет своим дополнением теорему об изменении момента количеств движения — основной закон, управляющий вращательными движениями. В символической форме эта теорема записывается в виде

и читается следующим образом: абсолютная производная по времени (т. е. производная по времени в инерциальном базисе отсчета) от момента количеств абсолютного движения относительно полюса О, неподвижного в инерциальном пространстве, равна главному моменту внешних сил относительно того же самого полюса. Сначала эта теорема была сформулирована в виде аксиомы Эйлером х). Она справедлива для любой материальной системы. Ее нельзя вывести из аксиом Ньютона без введения дополнительных предположений. В частном случае системы, состоящей из одного твердого тела, характер этих предположений можно показать следующим образом. Пусть твердое тело интерпретируется конечным множеством материальных точек с массами которые удерживаются внутренними силами на неизменных расстояниях одна от другой. Положение массы в инерциальном пространстве описывается радиус-вектором с началом в О (рис. 3.4). Вторая аксиома Ньютона для одной материальной точки записывается в виде

где — главный вектор внешних сил, приложенных к внутренняя сила, действующая на со стороны Векторное умножение на и суммирование по дает

Выражение в, левой части представляет собой в силу определения (3.5) момента количеств движения. Первая сумма в правой части есть главный момент внешних сил. Для внутренних сил справедлива третья аксиома Ньютона . Следовательно,

Это уравнение совпадает с теоремой об изменении момента количеств движения в форме уравнения (3.15) только в том случаег если внутренние силы не изменяют результирующего момента. Эта условие выполняется, если для всех векторы имеют одну и ту же линию действия. Это предположение не является следствием аксиом Ньютона. Оно не тривиально, поскольку относительно внутренних сил ничего не известно, за исключением того, что они удерживают материальные точки на неизменных расстояниях одна от другой.

Специальная форма теоремы об изменении момента количеств движения для абсолютно твердого тела получается, если выразить через тензор инерции, угловую скорость и угловое ускорение тела. Наиболее простой способ для получения этой формы состоит в дифференцировании выражения (3.8) для и подстановке его в уравнение (3.15). По причинам, которые станут понятны в дальнейшем, более предпочтительно вернуться к определению момента количеств движения и написать

В этом интеграле и выражаются через величины, показанные на рис. 3.1:

Рис. 3.4.

Система материальных точек как модель твердого тела. Точка О неподвижна в инерциальном пространстве.

Вектор представляет собой абсолютное ускорение связанной с телом точки Р. С учетом этих выражений

В силу соотношений (3.17), выражение в квадратных скобках в первом члене равно абсолютному ускорению центра масс тела. Первый интеграл равен (ср. (3.7)). Во втором интеграле подынтегральное выражение можно представить в форме

(это можно проверить разложением двойных векторных произведений в обеих частях тождества). С учетом этого тождества второй интеграл станет равен Теперь уравнение для принимает вид

Рассмотрим далее главный момент сил относительно точки О. Если — главный вектор внешних сил, действующих на тело, а — главный момент внешних сил относительно точки Р, то . В соответствии с законом Ньютона

После подстановки в уравнение (3.15) этих двух выражений и учета соотношения (3.18) теорема об изменении момента количеств движения для абсолютно твердого тела принимает свой окончательный вид

Очевидно, соотношения (3.17), так же как и все последующие соотношения, остаются справедливыми, если полюс Р на рис. 3.1 не является неподвижным в теле, а движется относительно него.

Единственное отличие состоит в том, что необходимо рассматривать как абсолютное ускорение не точки Р, а точки тела, которая в данный момент совпадает с Р. Простота этого вывода достигнута в результате того, что вместо дифференцирования соотношения (3.8) в основу анализа положено соотношение (3.16).

Теорема об изменении момента количеств движения принимает наиболее простой вид:

если за полюс Р принят центр масс или точка (если такая существует), для которой или точка (если такая существует), для которой векторы коллинеарны. Случай имеет место тогда, когда неподвижная в теле точка Р также неподвижна в инерциальном пространстве.

Пусть точка Р совпадает с центром масс С. Тогда из уравнения (3.21) получаем другое полезное соотношение, заменяя момент внешних сил выражением

где Р — произвольная точка (не обязательно неподвижная в теле), а — вектор, проведенный из Р в С. Это приводит к уравнению

которое совпадает с уравнением (3.20) с тем лишь отличием, что абсолютное ускорение и тензор инерции вычисляются для другого полюса.

Рассмотрим снова уравнение (3.21). Далее верхний индекс Р будем опускать. Тогда в связанном с телом базисе оно примет вид

В частности, если направить базисные векторы по главным осям инерции, то это матричное уравнение эквивалентно уравнениям

которые представляют собой уравнения Эйлера движения твердого тела. Их можно проинтегрировать в замкнутом виде лишь в нескольких частных случаях. Математические трудности возникают по двум причинам. Одна из них состоит в нелинейности левых частей уравнений. Другая заключается в том, что выражения в правых частях обычно имеют сложную структуру. Различают три типа задач. В первом и наиболее простом случае составляющие главного момента являются известными функциями (и, возможно, ). Физически это означает, что источник главного момента М вращается вместе с телом. Типичным примером является момент, создаваемый реактивным двигателем

ракеты, который смонтирован на ракете и движется относительно нее согласно заданной функции времени. В таких случаях говорят, что твердое тело самовозбуждено.

Все задачи, не относящиеся к этому типу, можно разделить на два класса. К первому классу относятся задачи, в которых зависят не только от и , но также от обобщенных координат, которые описывают угловую ориентацию тела в несвязанном с телом базисе отсчета. Например, вес тела, подвешенного как маятник, создает момент, компоненты которого являются функциями направляющих косинусов вертикали относительно главных осей системы. Зависимость от таких обобщенных координат обусловливает математическую связь между уравнениями Эйлера и кинематическими дифференциальными уравнениями, описывающими угловую ориентацию тела (любая из групп уравнений (2.27), (2.29), (2.32), (2.34), зависящих от выбора обобщенных координат). Еще более сложными являются задачи, в которых зависят также от положения и скорости центра масс тела. Эта зависимость приводит к необходимости присоединения закона Ньютона (уравнения (3.19)). Примерами такого типа задач служат движения самолетов и кораблей.

Задача

(см. скан)