5.4. Заключительные замечания

Содержание разделов 5.2.1 и 5.2.4, представленное в этой главе, в развернутой форме изложено впервые. Оно составляло предмет работы [1] Роберсона и Виттенбурга. Одновременно ту же задачу исследовали Хукер и Марголис [20]. Эти две группы ученых знали о попытках друг друга. Но ни одна из групп не знала того, что Фишер [21] на шестьдесят лет раньше уже рассматривал эту же задачу. Его книга «Введение в механику живых механизмов» содержит все результаты разделов 5.2.2 и 5.2.4, в частности понятие дополненных тел.

Однако Фишер развивал другой подход. Он не применял понятия теории графов, и вместо оперирования с абсолютными угловыми скоростями определял набор углов Эйлера для каждого тела и прошел через трудную процедуру составления уравнений Лагранжа, выписывая член за членом все векторные и тензорные произведения в скалярной форме. Его окончательные уравнения были настолько длинными, что в явной форме он выписал их только для системы двух тел с шаровым шарниром, расположенным на главных осях обоих тел. Однако он владел уравнениями для

общих систем со структурой дерева и с шаровыми шарнирами и фактически применил их в задаче о ходьбе человека. В книге Фишера можно найти также физические интерпретации, указанные после формул (5.29) и (5.59). Обнаружил эту раннюю работу Роберсон в 1967 г.

Хукёр [22] первым показал, как выводить скалярные уравнения движения для систем со структурой дерева и с цилиндрическими шарнирами. Роберсон [23] сделал первую попытку рассмотрения систем, в которых движение смежных тел относительно друг друга не является чисто вращательным. Лилов и Виттенбург [24] при ведущей роли первого автора применили для вывода уравнений движения принцип Даламбера. Боланд, Самен и Виллемс [25] сделали тоже самое, однако они ограничили исследование линеаризованными уравнениями. Подход, использующий принцип Даламбера, открывает дорогу к рассмотрению замкнутых кинематических цепей так, как это было сделано в разд. 5.3.

В этой книге рассматриваются только системы твердых тел и только точные нелинейные уравнения движения. Однако развитый здесь метод служит отправным пунктом также для исследования систем, состоящих из связанных нетвердых тел. Типичными примерами систем, в которых нужно принимать во внимание деформируемость тел, являются легкие конструкции космических кораблей с вращающимися антеннами и солнечными панелями. Вклад в этой области сделали Ликине [26], Ликине и Флейшер [27], Боланд, Самен и Виллемс [25, 28], Фриш [29] и др. Идея заключается в применении к деформируемым телам метода конечных элементов и в такой трактовке шарнирных координат, которая была опиеана в этой главе. Для комбинации малоизменяющихся переменных, описывающих деформацию тел, и шарнирных переменных, подверженных большим изменениям, Ликине ввел термин «гибридные координаты».

Следует указать, что существуют и некоторые другие попытки рассмотрения систем многих тел [30—35]. Однако ни один из этих методов не является столь общим, как описанный в этой главе. Обзор различных методов дан Рено [35], который сам разработал процедуру, ориентированную на численный счет и основанную на уравнениях Лагранжа, для систем со структурой дерева и с вращательными и поступательными степенями свободы в шарнирах.