Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.4. Симметричный тяжелый волчокРассматривается твердое тело, которое в инерциальном пространстве оперто в одной точке, не совпадающей с центром масс тела. На тело действует только сила тяжести. В литературе эта система известна как тяжелый волчок. Общее решение его уравнений движения неизвестно. Оно известно только для частного случая, когда распределение масс тела обладает осевой симметрией и, кроме того, точка опоры находится на оси симметрии. На рис. 4.4 изображен такой симметричный тяжелый волчок в положении, когда точка опоры расположена ниже центра масс. Эта система, решение для которой было найдено Лагранжем, служит предметом последующего рассмотрения.
Рис. 4.4. Симметричный тяжелый волчок и его координаты Момент силы тяжести зависит от ориентации тела в инерциальном пространстве. Следствием этой функциональной зависимости является то обстоятельство, что уравнения движения Эйлера связаны с кинематическими дифференциальными уравнениями, которыми определяется В теле, а также в инерциальном пространстве существуют важные с физической точки зрения направления, а именно ось симметрии в теле и вертикальная линия действия силы тяжести в инерциальном пространстве. Это наводит на мысль использовать в качестве обобщенных координат углы Эйлера, из которых На рис. 4.4 связанный с телом базис не показан. Показаны базис Уравнения движения получим из теоремы о кинетическом моменте в общей форме (3.15). Возьмем точку опоры О тела за начало отсчета в инерциальном пространстве. Абсолютная производная по времени
где
Подстановка в уравнения (4.26) и (3.15) приводит к искомым скалярным дифференциальным уравнениям движения
В последнем уравнении выражение в левой части равно
откуда следует первый интеграл
Его можно получить также непосредственно из третьего уравнения Эйлера, которое для С учетом этого интеграла уравнения (4.29) и (4.30) принимают вид
Эти уравнения дают еще два алгебраических интеграла. Если второе уравнение умножить на
С другой стороны, если уравнение (4.32) умножить на
Эти два интеграла можно также найти непосредственно, не обращаясь к уравнениям движения. Поскольку момент силы тяжести относительно вертикали
Это уравнение эквивалентно уравнению (4.34). Рассматриваемая система консервативна, так что ее полная энергия Е сохраняет постоянное значение. Это дает
или, используя выражения для
Оно эквивалентно уравнению (4.35). Перед изложением общего решения задачи рассмотрим два частных типа движений, которые могут быть реализованы при соответствующем выборе начальных условий. Одно из них представляет собой произвольное плоское движение маятника с Эти два уравнения действительно представляют собой дифференциальное уравнение и интеграл энергии соответственно плоского физического маятника (отметим, что обычно в качестве независимой переменной используется При этом условии уравнение (4.33) дает
Следует отметить, что все полученные до сих пор результаты справедливы также для частного случая, когда уравнением (4.21). Уравнение (4.38) для
Эти решения действительно дают угловую скорость прецессии, и результат для На рис. 4.5 соотношение между
Рис. 4.5. Угловые скорости и регулярных прецессий как функции от Одно из асимптотических решений пропорционально Обратимся теперь к общему решению задачи. Начнем с интегралов движения. Интеграл (4.36) дает
Подстановка в интеграл (4.37) приводит к дифференциальному уравнению для
Как только известно решение
уравнение (4.41) после простых преобразований принимает вид
Выражение в правой части представляет собой кубический полином
Рис. 4.6. Схематичный вид функции Поскольку для вещественных решений
Если и заменить новой переменной
то это уравнение после простых преобразований примет вид
где
Разделение переменных приводит к эллиптическому интегралу первого рода с модулем
Он имеет решение
Постоянные
Таким образом, все три величины
для переменной
Наложение периодических изменений и регулярной прецессии. Три верхние кривые соответствуют общим случаям движения, в которых
Рис. 4.7. Кривые, описываемые осью симметрии на сфере с началом в точке опоры тяжелого волчка. Многие технические гироскопические приборы, по существу, представляют собой симметричный тяжелый волчок (см. Магнус [6]). Такие приборы работают в специальных условиях. Во-первых, они находятся в быстром вращении. Это означает, что часть Наблюдаемые при этих условиях движения можно лишь с трудом отличить от регулярных прецессий. В действительности они описываются уравнениями (4.46) и (4.47). Однако амплитуда нутации Угловая скорость прецессии количеств движения и энергии суть (уравнения (4.36) и (4.37))
Подставим эти выражения в кубическое уравнение (4.43). В силу начального условия
где
Квадратичная функция от
При сделанных предположениях величина а много больше единицы, а абсолютное значение
Разложения в ряды Тейлора (с точностью до членов второго порядка) дают
Принимая во внимание этот результат для
Действительно, это очень малая величина. Отметим, что она становится равной нулю, если начальное значение равно угловой скорости медленной регулярной прецессии (см. уравнение
Соответствующая круговая частота
Для разности
и далее к
Этот результат указывает, что
|
1 |
Оглавление
|